esfera de Bloch

En mecánica cuántica y computación , la esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estados puros de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), nombrada en honor al físico Felix Bloch . ^{[ 1 ]}

Matemáticamente, cada sistema mecánico cuántico está asociado con un espacio de Hilbert complejo separable .${\displaystyle H}$Un estado puro de un sistema cuántico está representado por un vector distinto de cero.${\displaystyle \psi }$en${\displaystyle H}$. Los vectores${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \lambda \psi }$(con${\displaystyle \lambda }$un número complejo distinto de cero ) representa el mismo estado. Un sistema con n estados cuánticos mutuamente ortogonales puede describirse mediante un espacio de Hilbert de dimensión n . Los estados puros pueden representarse como clases de equivalencia , o rayos en un espacio de Hilbert proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$. ^{[ 2 ]} Para un espacio de Hilbert bidimensional, el espacio de todos esos estados es la línea proyectiva compleja${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$Esta es la esfera de Bloch, que se puede mapear a la esfera de Riemann .

La esfera de Bloch es una 2-esfera unitaria , cuyos puntos antipodales corresponden a un par de vectores de estado mutuamente ortogonales. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch se eligen típicamente para que correspondan a los vectores base estándar.${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$, respectivamente, que a su vez podrían corresponder, por ejemplo, a los estados de espín hacia arriba y hacia abajo de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos en la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos . ^{[ 3 ] [ 4 ]} La esfera de Bloch puede generalizarse a un sistema cuántico de n niveles, pero entonces la visualización es menos útil.

La métrica natural en la esfera de Bloch es la métrica de Fubini-Study . El mapeo desde la esfera unitaria tridimensional en el espacio de estados bidimensional${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$La relación entre la fibración de Hopf y la esfera de Bloch es tal que cada rayo de espinores se corresponde con un punto de la esfera de Bloch.

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro${\displaystyle |\psi \rangle }$La función de onda de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores base.${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$donde el coeficiente de (o contribución de) cada uno de los dos vectores base es un número complejo . Esto significa que el estado se describe mediante cuatro números reales. Sin embargo, solo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores base tiene algún significado físico (la fase del sistema cuántico no es directamente medible ), por lo que hay redundancia en esta descripción. Podemos tomar el coeficiente de${\displaystyle |0\rangle }$ser real y no negativo. Esto permite describir el estado con solo tres números reales, dando lugar a las tres dimensiones de la esfera de Bloch.

También sabemos, gracias a la mecánica cuántica, que la probabilidad total del sistema tiene que ser uno:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$o equivalentemente${\displaystyle {\left\||\psi \rangle \right\|\,}^{2}=1}$.

Dada esta restricción, podemos escribir${\displaystyle |\psi \rangle }$utilizando la siguiente representación:

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$, dónde${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$y${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$.

La representación es siempre única, porque, aunque el valor de${\displaystyle \phi }$no es único cuando ${\displaystyle |\psi \rangle }$es uno de los estados (ver notación Bra-ket )${\displaystyle |0\rangle }$o${\displaystyle |1\rangle }$, el punto representado por${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$es único.

Los parámetros${\displaystyle \theta \,}$y${\displaystyle \phi \,}$, reinterpretadas en coordenadas esféricas como la colatitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x respectivamente , especifican un punto

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

en la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador de densidad bidimensional ρ puede expandirse utilizando la identidad I y las matrices de Pauli hermíticas sin traza .${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

dónde${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$se denomina vector de Bloch .

Es este vector el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como una característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$Los operadores de densidad deben ser semidefinidos positivos, por lo que se deduce que${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$.

Para estados puros, entonces se tiene

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

en conformidad con lo anterior. ^{[ 5 ]}

En consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

El vector de Bloch${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$puede representarse en la siguiente base, con referencia al operador de densidad${\displaystyle \rho }$: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

dónde

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Esta base se utiliza a menudo en la teoría láser , donde${\displaystyle w}$se conoce como inversión de población . ^{[ 7 ]} En esta base, los valores${\displaystyle u,v,w}$son las expectativas de las tres matrices de Pauli${\displaystyle X,Y,Z}$, lo que permite identificar las tres coordenadas con los ejes xy y z.

Consideremos un sistema mecánico cuántico de n niveles. Este sistema se describe mediante un espacio de Hilbert n- dimensional H _n . El espacio de estados puros es, por definición, el conjunto de rayos de H _n .

Teorema . Sea U( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces el espacio de estados puros de H _n puede identificarse con el espacio de clases laterales compacto.

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Para probar este hecho, observe que existe una acción de grupo _natural de U( n ) sobre el conjunto de estados de Hn . Esta acción es continua y transitiva sobre los estados puros. Para cualquier estado${\displaystyle |\psi \rangle }$, el grupo de isotropía de${\displaystyle |\psi \rangle }$, (definido como el conjunto de elementos)${\displaystyle g}$ de U( n ) tal que${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$) es isomorfo al grupo producto

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Cualquier${\displaystyle g}$de U( n ) que deja${\displaystyle |\psi \rangle }$invariante debe tener${\displaystyle |\psi \rangle }$como un vector propio . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U(1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de${\displaystyle |\psi \rangle }$, que es isomorfo a U( n − 1). De esto se deduce la afirmación del teorema a partir de hechos básicos sobre acciones de grupo transitivas de grupos compactos.

Lo importante a destacar anteriormente es que el grupo unitario actúa de forma transitiva sobre los estados puros.

Ahora la dimensión (real) ^de U( n ) es n² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

es un homeomorfismo local del espacio de matrices complejas autoadjuntas a U( n ). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n² ^.

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puros de H _n es 2 n − 2.

De hecho,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico de m qubits. El espacio de Hilbert correspondiente tiene dimensión 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puros de un registro cuántico de m qubits es 2 ^{m +1} − 2.

Representación gráfica de estados puros de dos espinores mediante proyección estereográfica

Matemáticamente, la esfera de Bloch para un estado de dos espinores se puede mapear a una esfera de Riemann.${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$, es decir, el espacio de Hilbert proyectivo${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$con el espacio de Hilbert complejo bidimensional${\displaystyle H_{2}}$un espacio de representación de SO(3) . ^{[ 8 ]} Dado un estado puro

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son números complejos que están normalizados de manera que

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

y tal que${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$y${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$, es decir, de tal manera que${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$y${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$formen una base y tengan representaciones diametralmente opuestas en la esfera de Bloch, entonces dejemos que

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

ser su proporción.

Si se piensa que la esfera de Bloch está incrustada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con su centro en el origen y con radio uno, entonces el plano z  =  0 (que interseca la esfera de Bloch en un círculo máximo ; el ecuador de la esfera, por así decirlo) puede considerarse como un diagrama de Argand . Traza el punto u en este plano, de modo que en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$tiene coordenadas${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$.

Dibuja una línea recta que pase por u y por el punto de la esfera que representa${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$. (Sea (0,0,1) representar${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$y (0,0, − ​​1) representan${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$.) Esta línea interseca la esfera en otro punto además de${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$. (La única excepción es cuando${\displaystyle u=\infty }$, es decir, cuando${\displaystyle \alpha =0}$y${\displaystyle \beta \neq 0}$Llamemos a este punto P. El punto u en el plano z = 0 es la proyección estereográfica del punto P sobre la esfera de Bloch. El vector con origen en el origen y extremo en P es la dirección en el espacio 3D correspondiente al espinor${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$Las coordenadas de P son

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas cuánticos deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no solo los estados puros, sino también los estados mixtos para sistemas de dos niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de dos niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

dónde${\displaystyle p_{i}}$es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos sobre y dentro de la esfera de Bloch se conoce como bola de Bloch.

Para estados de dimensiones superiores, resulta difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa transitivamente sobre los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Supongamos que A es un operador de densidad en un sistema mecánico cuántico de n niveles cuyos autovalores distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Entonces el grupo de operadores unitarios V tales que VAV * = A es isomorfo (como un grupo de Lie) a

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

En particular, la órbita de A es isomorfa a

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Es posible generalizar la construcción de la bola de Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de dicho "cuerpo de Bloch" es más complicada que la de una bola. ^{[ 9 ]}

Una ventaja útil de la representación de la esfera de Bloch es que la evolución del estado del cúbit se puede describir mediante rotaciones de la esfera de Bloch. La explicación más concisa de por qué esto es así es que el álgebra de Lie para el grupo de matrices unitarias y hermíticas${\displaystyle SU(2)}$es isomorfo al álgebra de Lie del grupo de rotaciones tridimensionales${\displaystyle SO(3)}$. ^{[ 10 ]}

• Transición electrónica atómica
• espacio girovectorial
• Versores
• Las implementaciones específicas de la esfera de Bloch se enumeran en el artículo sobre cúbits .

• Visualización en línea de la esfera de Bloch por Konstantin Herb