Media de Bochner-Riesz

La media de Bochner-Riesz es un método de sumabilidad que se utiliza frecuentemente en el análisis armónico al considerar la convergencia de series e integrales de Fourier . Fue introducida por Salomon Bochner como una modificación de la media de Riesz .

Definir

${\displaystyle (\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{si }}\xi >0\\0,&{\mbox{en otro caso}}.\end{cases}}}$

Dejar${\displaystyle f}$ser una función periódica, pensada como si estuviera en el n-toro ,${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$y teniendo coeficientes de Fourier${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$para${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$. Entonces, los medios de Bochner-Riesz de orden complejo${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle B_{R}^{\delta }f}$de (donde${\displaystyle R>0}$y${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$) se definen como

${\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}$

Análogamente, para una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con transformada de Fourier${\displaystyle {\sombrero {f}}(\xi )}$, los medios de Bochner-Riesz de orden complejo${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle S_{R}^{\delta }f}$(dónde${\displaystyle R>0}$y${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$) se definen como

${\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}$

Para${\displaystyle \delta >0}$y${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$y${\displaystyle B_{R}^{\delta }}$pueden escribirse como operadores de convolución , donde el núcleo de convolución es una identidad aproximada . Como tal, en estos casos, considerando la convergencia casi en todas partes de Bochner–Riesz significa para funciones en${\displaystyle L^{p}}$Los espacios son mucho más simples que el problema de la convergencia "regular" casi en todas partes de las series/integrales de Fourier (correspondientes a${\displaystyle \delta =0}$).

En dimensiones superiores, los núcleos de convolución se comportan de forma "peor": específicamente, para

${\displaystyle \delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}}$

El núcleo ya no es integrable. En consecuencia, establecer la convergencia en casi todas partes se vuelve mucho más difícil.

Otra pregunta es la de para qué${\displaystyle \delta }$y cuál${\displaystyle p}$el método Bochner-Riesz de un${\displaystyle L^{p}}$La función converge en norma . Este asunto es de fundamental importancia para${\displaystyle n\geq 2}$, ya que la convergencia de la norma esférica regular (que corresponde de nuevo a${\displaystyle \delta =0}$) falla en${\displaystyle L^{p}}$cuando${\displaystyle p\neq 2}$Esto se demostró en un artículo de 1971 de Charles Fefferman . ^{[ 1 ]}

Por un resultado de transferencia, el${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$Los problemas son equivalentes entre sí y, como tales, mediante un argumento que utiliza el principio de acotación uniforme , para cualquier problema en particular${\displaystyle p\en (1,\infty)}$,${\displaystyle L^{p}}$La convergencia de la norma se produce en ambos casos para exactamente esos${\displaystyle \delta }$dónde${\displaystyle (1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }}$es el símbolo de un${\displaystyle L^{p}}$operador multiplicador de Fourier acotado .

Para${\displaystyle n=2}$, esa cuestión ha sido completamente resuelta, pero para${\displaystyle n\geq 3}$, solo se ha respondido parcialmente. El caso de${\displaystyle n=1}$no es interesante aquí ya que la convergencia se produce para${\displaystyle p\en (1,\infty)}$en la más difícil${\displaystyle \delta =0}$caso como consecuencia de la${\displaystyle L^{p}}$La acotación de la transformada de Hilbert y un argumento de Marcel Riesz .

Definir${\displaystyle \delta (p)}$, el "índice crítico", como

${\displaystyle \max(n|1/p-1/2|-1/2,0)}$.

Entonces, la conjetura de Bochner-Riesz afirma que

${\displaystyle \delta >\delta (p)}$

es la condición necesaria y suficiente para un${\displaystyle L^{p}}$Operador multiplicador de Fourier acotado. Se sabe que la condición es necesaria. ^{[ 2 ]}

• Lu, Shanzhen (2013). Medias de Bochner-Riesz en espacios euclidianos (Primera  ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukas (2008). Análisis clásico de Fourier (Segunda  edición). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukás (2009). Análisis de Fourier moderno (Segunda  ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. y Murphy, Timothy S. (1993). Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-03216-5.