Hélice de Boerdijk-Coxeter

Hélices diestras y zurdas

La hélice de Boerdijk-Coxeter , que recibe su nombre de HSM Coxeter y Arie Hendrick Boerdijk , es un apilamiento lineal de tetraedros regulares , dispuestos de tal manera que las aristas del complejo que pertenecen a un solo tetraedro forman tres hélices entrelazadas . Existen dos formas quirales , con giros dextrógiros o levógiros. A diferencia de cualquier otro apilamiento de sólidos platónicos , la hélice de Boerdijk-Coxeter no es rotacionalmente repetitiva en el espacio tridimensional. Incluso en una cadena infinita de tetraedros apilados, no habrá dos tetraedros con la misma orientación, ya que el paso helicoidal por celda no es una fracción racional del círculo. Sin embargo, se han encontrado formas modificadas de esta hélice que son repetitivas rotacionalmente, ^{[ 2 ]} y en el espacio de 4 dimensiones esta hélice se repite en anillos de exactamente 30 celdas tetraédricas que teselan la superficie de 3 esferas de la 600-celda , uno de los seis policoros convexos regulares .

Buckminster Fuller la denominó tetrahélice y las consideró con elementos tetraédricos regulares e irregulares. ^{[ 3 ]}

Los vértices de la hélice de Boerdijk-Coxeter compuesta por tetraedros con longitud de arista unitaria se pueden escribir en coordenadas: $${\displaystyle (r\cos n\theta ,r\sin n\theta ,nh)}$$ dónde${\displaystyle r=3{\sqrt {3}}/10}$,${\displaystyle \theta =\pm \cos ^{-1}(-2/3)\approx 131.81^{\circ }}$,${\displaystyle h=1/{\sqrt {10}}}$y${\displaystyle n}$es un número entero arbitrario. Los dos valores diferentes de${\displaystyle \theta }$corresponden a las dos formas quirales. Todos los vértices están ubicados en el cilindro con radio${\displaystyle r}$a lo largo del eje z. Dado cómo se alternan los tetraedros, esto da una torsión aparente de${\textstyle 2\theta -{\frac {4}{3}}\pi \approx 23.62^{\circ }}$cada dos tetraedros. Hay otro cilindro inscrito con radio${\displaystyle 1/{\sqrt {6}}}$dentro de la hélice. ^{[ 4 ]}

La partición de 600 celdas se divide en 20 anillos de 30 tetraedros , cada uno una hélice de Boerdijk-Coxeter. ^{[ 5 ]} Cuando se superpone a la curvatura de la 3-esfera, se vuelve periódica, con un período de diez vértices, abarcando las 30 celdas. El conjunto de dichas hélices en la 600-celda representa una fibración de Hopf discreta . ^{[ 6 ]} Mientras que en 3 dimensiones las aristas son hélices, en la topología de 3-esfera impuesta son geodésicas y no tienen torsión . Se enrollan en espiral unas alrededor de otras de forma natural debido a la fibración de Hopf. ^{[ 7 ]} El conjunto de aristas forma otra fibración de Hopf discreta de 12 anillos con 10 vértices cada uno. Estos corresponden a anillos de 10 dodecaedros en la dual 120-celda .

Además, la partición de 16 celdas se divide en dos anillos de 8 tetraedros , de cuatro aristas de longitud, y la partición de 5 celdas se divide en un único anillo degenerado de 5 tetraedros .

Las pirámides cuadradas equiláteras también se pueden encadenar formando una hélice, con dos configuraciones de vértice , 3.4.3.4 y 3.3.4.3.3.4. Esta hélice existe como un anillo finito de 30 pirámides en un politopo de 4 dimensiones .

Y las pirámides pentagonales equiláteras se pueden encadenar con 3 configuraciones de vértices, 3.3.5, 3.5.3.5 y 3.3.3.5.3.3.5:

La torre de arte Mito se basa en una hélice de Boerdijk-Coxeter.

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