modelo de Bohr

En física atómica , el modelo de Bohr o modelo de Rutherford-Bohr es un modelo obsoleto del átomo que incorporó algunos conceptos cuánticos iniciales. Desarrollado entre 1911 y 1918 por Niels Bohr , basándose en el descubrimiento del núcleo atómico por Ernest Rutherford , suplantó el modelo del pudín de pasas de J. J. Thomson , para luego ser reemplazado por el modelo atómico cuántico en la década de 1920. Consiste en un núcleo atómico pequeño y denso rodeado de electrones en órbita . Es análogo a la estructura del Sistema Solar , pero con la atracción proporcionada por la fuerza electrostática en lugar de la gravedad , y con las energías de los electrones cuantizadas (asumiendo solo valores discretos).

En la historia de la física atómica, siguió y finalmente reemplazó varios modelos anteriores, incluidos el modelo del Sistema Solar de Joseph Larmor (1897), el modelo de Jean Perrin (1901), ^{[ 2 ]} el modelo cúbico (1902), el modelo saturniano de Hantaro Nagaoka (1904), el modelo del pudín de pasas (1904), el modelo cuántico de Arthur Haas (1910), el modelo de Rutherford (1911) y el modelo cuántico nuclear de John William Nicholson (1912). La mejora con respecto al modelo de Rutherford de 1911 se refería principalmente a la nueva interpretación mecánica cuántica introducida por Haas y Nicholson, pero abandonando cualquier intento de explicar la radiación según la física clásica .

El éxito clave del modelo reside en explicar la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión espectral del hidrógeno . Si bien la fórmula de Rydberg ya se conocía experimentalmente, no adquirió una base teórica hasta la introducción del modelo de Bohr. Este modelo no solo explicó la estructura de la fórmula de Rydberg, sino que también justificó las constantes físicas fundamentales que conforman sus resultados empíricos.

El modelo de Bohr es un modelo relativamente primitivo del átomo de hidrógeno, comparado con el modelo de capa de valencia . Como teoría, puede derivarse como una aproximación de primer orden del átomo de hidrógeno utilizando la mecánica cuántica, más amplia y mucho más precisa, y por lo tanto puede considerarse una teoría científica obsoleta . Sin embargo, debido a su simplicidad y a sus resultados correctos para sistemas seleccionados (véase más adelante para la aplicación), el modelo de Bohr todavía se enseña comúnmente para introducir a los estudiantes a la mecánica cuántica o a los diagramas de niveles de energía antes de pasar al átomo de capa de valencia, más preciso pero más complejo. Un modelo cuántico relacionado fue propuesto por Arthur Erich Haas en 1910, pero fue rechazado hasta el Congreso Solvay de 1911, donde fue discutido exhaustivamente. ^{[ 3 ]} La teoría cuántica del período entre el descubrimiento del cuanto por Planck (1900) y el advenimiento de una mecánica cuántica madura (1925) a menudo se denomina la antigua teoría cuántica .

Hasta la segunda década del siglo XX, los modelos atómicos eran generalmente especulativos. Incluso el concepto de átomos, y mucho menos el de átomos con estructura interna, se enfrentó a la oposición de algunos científicos. ^{[ 5 ] : 2}

A continuación, su amigo Hans Hansen le explicó a Bohr que la serie de Balmer se calcula mediante la fórmula de Balmer, una ecuación empírica descubierta por Johann Balmer en 1885 que describía las longitudes de onda de algunas líneas espectrales del hidrógeno. ^{[ 18 ] [ 22 ]} Esta fórmula fue generalizada posteriormente por Johannes Rydberg en 1888, dando como resultado lo que hoy se conoce como la fórmula de Rydberg. Tras esto, Bohr declaró: «Todo quedó claro». ^{[ 22 ]}

En 1913, Niels Bohr planteó cinco supuestos o postulados para proporcionar un modelo electrónico consistente con el modelo nuclear de Rutherford: ^{[ 23 ]}

1. El átomo no puede absorber ni irradiar energía continua, contrariamente a lo que sugiere el electromagnetismo clásico . Por lo tanto, el electrón mantiene órbitas estables y estacionarias, y no puede tener ninguna otra órbita entre las discretas.
2. En las órbitas estacionarias, los electrones obedecen las leyes de la mecánica ordinaria.
3. La absorción o emisión de radiación electromagnética con una frecuencia${\displaystyle \nu }$está relacionada con una energía según la relación de Planck :${\displaystyle E=h\nu }$, dónde${\displaystyle h}$es la constante de Planck.
4. Las órbitas estacionarias se obtienen mediante la condición de que la relación entre la energía total emitida al formar el estado y la frecuencia de rotación del electrón alrededor del núcleo positivo sea un múltiplo entero de${\displaystyle h/2}$.
5. En el estado atómico correspondiente a la energía máxima emitida, las órbitas estacionarias se alcanzan a distancias para las cuales el momento angular del electrón en rotación es igual a la constante de Planck reducida,${\displaystyle h/2\pi }$.

Los dos primeros postulados formulan las observaciones experimentales de que la absorción y emisión de radiación del hidrógeno no obedecen las reglas conocidas en ese momento. El tercer postulado reitera la teoría cuántica de la radiación de Planck, que ya era ampliamente aceptada en 1913. El cuarto y el quinto postulado se combinan en discusiones modernas. ^{[ 23 ]} En la forma combinada, las órbitas estacionarias vienen dadas por ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$, dónde${\displaystyle n=1,2,3,...}$se denomina número cuántico principal y${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$. El valor más bajo de${\displaystyle n}$es 1; esto da el radio orbital más pequeño posible, conocido como radio de Bohr , de 0,0529  nm para el hidrógeno. Una vez que un electrón está en esta órbita más baja, no puede acercarse más al núcleo.

La condición de Bohr, que el momento angular sea un múltiplo entero de${\displaystyle \hbar ,}$Posteriormente, en 1924 , De Broglie la reinterpretó como una condición de onda estacionaria . ^{[ 23 ]} En este modelo, el electrón se describe mediante una onda y un número entero de longitudes de onda debe ajustarse a lo largo de la circunferencia de la órbita del electrón:

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

Según la hipótesis de De Broglie, las partículas de materia, como el electrón, se comportan como ondas . La longitud de onda de De Broglie de un electrón es

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}},}$

lo cual implica que

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r,}$

o

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr,}$

dónde${\displaystyle mvr}$es el momento angular del electrón en órbita. Escribiendo${\displaystyle \ell }$Para este momento angular, la ecuación anterior se convierte en:

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }},}$

que es la forma combinada del cuarto y quinto postulado de Bohr. ^{[ 23 ]}

En 1932, estos dos postulados se justificaron aún más cuando CV Raman y Suri Bhagavantam demostraron experimentalmente que un fotón transporta un momento angular de${\displaystyle \hbar }$. ^{[ 24 ] [ 25 ]} Bohr había supuesto que los electrones pueden transitar entre órbitas estacionarias, durante las cuales un fotón es absorbido o emitido por el sistema. Con la medición del momento angular del fotón, la ley de conservación del momento angular predice que el momento angular de un electrón en una órbita estacionaria debe ser igual a un múltiplo entero de${\displaystyle \hbar }$. ^{[ 23 ]}

Partiendo de la regla cuántica del momento angular, como admite Bohr, ya había sido dada por Nicholson en su artículo de 1912, ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 21 ] [ 20 ]} Bohr ^{[ 11 ]} pudo calcular las energías de las órbitas permitidas del átomo de hidrógeno y otros átomos e iones similares al hidrógeno . Estas órbitas están asociadas con energías definidas y también se denominan capas de energía o niveles de energía . En estas órbitas, la aceleración del electrón no produce radiación ni pérdida de energía.

Se propusieron varias mejoras al modelo de Bohr, en particular los modelos de Sommerfeld o Bohr-Sommerfeld , que sugerían que los electrones se desplazan en órbitas elípticas alrededor de un núcleo en lugar de las órbitas circulares del modelo de Bohr. ^{[ 1 ]} Este modelo complementó la condición de momento angular cuantizado del modelo de Bohr con una condición de cuantización radial adicional, la condición de cuantización de Wilson - Sommerfeld ^{[ 26 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{\text{r}}\,dq_{\text{r}}=nh,}$

donde p _r es el momento radial canónicamente conjugado a la coordenada q _r , que es la posición radial, y T es un período orbital completo. La integral es la acción de las coordenadas de acción-ángulo . Esta condición, sugerida por el principio de correspondencia , es la única posible, ya que los números cuánticos son invariantes adiabáticos .

El modelo de Bohr-Sommerfeld era fundamentalmente inconsistente y conducía a muchas paradojas. El número cuántico magnético medía la inclinación del plano orbital con respecto al plano xy  , y solo podía tomar unos pocos valores discretos. Esto contradecía el hecho obvio de que un átomo podía tener cualquier orientación con respecto a las coordenadas, sin restricción alguna. La cuantización de Sommerfeld se puede realizar en diferentes coordenadas canónicas y, a veces, da resultados distintos. La incorporación de correcciones de radiación era difícil, porque requería encontrar coordenadas de acción-ángulo para un sistema combinado de radiación/átomo, lo cual es difícil cuando se permite que la radiación escape. La teoría completa no se extendía a movimientos no integrables, lo que significaba que muchos sistemas no podían tratarse ni siquiera en principio. Finalmente, el modelo fue reemplazado por el tratamiento cuántico-mecánico moderno del átomo de hidrógeno, que fue presentado por primera vez por Wolfgang Pauli en 1925, utilizando la mecánica matricial de Heisenberg . La concepción actual del átomo de hidrógeno se basa en los orbitales atómicos de la mecánica ondulatoria , que Erwin Schrödinger desarrolló en 1926.

Sin embargo, esto no significa que el modelo de Bohr-Sommerfeld no tuviera éxitos. Los cálculos basados ​​en este modelo lograron explicar con precisión varios efectos espectrales atómicos más complejos. Por ejemplo, hasta perturbaciones de primer orden , el modelo de Bohr y la mecánica cuántica predicen lo mismo para el desdoblamiento de las líneas espectrales en el efecto Stark . Sin embargo, para perturbaciones de orden superior, el modelo de Bohr y la mecánica cuántica difieren, y las mediciones del efecto Stark bajo campos magnéticos intensos confirmaron la validez de la mecánica cuántica sobre el modelo de Bohr. La teoría predominante que explica esta diferencia radica en la forma de los orbitales de los electrones, que varían según su estado energético.

Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld plantean interrogantes en las matemáticas modernas. La condición de cuantización semiclasica consistente requiere un tipo específico de estructura en el espacio de fases, lo que impone limitaciones topológicas a los tipos de variedades simplécticas que pueden cuantizarse. En particular, la forma simpléctica debe ser la forma de curvatura de una conexión de un fibrado lineal hermitiano , lo que se denomina precuantización .

Bohr también actualizó su modelo en 1922, asumiendo que ciertos números de electrones (por ejemplo, 2, 8 y 18) corresponden a " capas cerradas " estables. ^{[ 28 ]}

En 1925, se propuso un nuevo tipo de mecánica, la mecánica cuántica, en la que el modelo de Bohr de electrones que se desplazan en órbitas cuantizadas se extendió a un modelo más preciso del movimiento electrónico. El nuevo marco teórico fue propuesto por Werner Heisenberg en el artículo «Umdeutung» , que posteriormente se extendió a la mecánica matricial con Max Born y Pascual Jordan . Otra forma de la misma teoría, la mecánica ondulatoria, fue descubierta de forma independiente por el físico austriaco Erwin Schrödinger , y mediante un razonamiento diferente. Schrödinger empleó las ondas de materia de De Broglie, pero buscó soluciones ondulatorias de una ecuación de onda tridimensional que describiera electrones confinados al movimiento alrededor del núcleo de un átomo hidrogenado , atrapados por el potencial de la carga nuclear positiva.

El modelo de Bohr proporciona resultados casi exactos solo para sistemas donde dos puntos cargados orbitan entre sí a velocidades mucho menores que la de la luz. Esto no solo incluye sistemas de un electrón como el átomo de hidrógeno , el helio ionizado una vez y el litio ionizado dos veces , sino que también abarca el positronio y los estados de Rydberg de cualquier átomo donde un electrón se encuentra lejos del resto. Puede utilizarse para cálculos de transiciones de rayos X de la línea K si se añaden otras suposiciones (véase la ley de Moseley más adelante). En física de altas energías, puede utilizarse para calcular las masas de los mesones quark pesados .

El cálculo de las órbitas requiere dos suposiciones.

• Mecánica clásica

  El electrón se mantiene en una órbita circular por atracción electrostática. La fuerza centrípeta es igual a la fuerza de Coulomb .

  ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},}$

  donde m _e es la masa del electrón, e es la carga elemental , k _e es la constante de Coulomb y Z es el número atómico del átomo . Aquí se supone que la masa del núcleo es mucho mayor que la masa del electrón (lo cual es una buena suposición). Esta ecuación determina la velocidad del electrón en cualquier radio:

  ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.}$

  También determina la energía total del electrón en cualquier radio:

  ${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.}$

  La energía total es negativa e inversamente proporcional a r . Esto significa que se necesita energía para alejar el electrón en órbita del protón. Para valores infinitos de r , la energía es cero, lo que corresponde a un electrón inmóvil infinitamente lejos del protón. La energía total es la mitad de la energía potencial , siendo la diferencia la energía cinética del electrón. Esto también se cumple para órbitas no circulares según el teorema del virial .

• Una regla cuántica

  El momento angular L = m _e vr es un múltiplo entero de ħ :

  ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .}$

Derivación

En mecánica clásica, si un electrón orbita alrededor de un átomo con un período T, y si su acoplamiento al campo electromagnético es débil, de modo que la órbita no se degrada mucho en un ciclo, emitirá radiación electromagnética en un patrón que se repite en cada período, de manera que la transformada de Fourier de dicho patrón solo tendrá frecuencias que sean múltiplos de 1/T.

Sin embargo, en mecánica cuántica, la cuantización del momento angular da lugar a niveles de energía discretos en las órbitas, y las frecuencias emitidas se cuantizan según las diferencias de energía entre estos niveles. Esta naturaleza discreta de los niveles de energía introduce una desviación fundamental de la ley de radiación clásica, lo que genera líneas espectrales distintas en la radiación emitida.

Bohr supone que el electrón está girando alrededor del núcleo en una órbita elíptica que obedece las reglas de la mecánica clásica, pero sin pérdida de radiación debido a la fórmula de Larmor .

Denotando la energía total como E , la carga del electrón como − e , la carga del núcleo como K = Ze , la masa del electrón como m _e , la mitad del eje mayor de la elipse como a , comienza con estas ecuaciones: ^{[ 11 ] : 3}

${\displaystyle \nu ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {\vert E\vert ^{\frac {3}{2}}}{eK{\sqrt {m}}_{\text{e}}}}\ \ \ (1a)}$

${\displaystyle 2a={\frac {eK}{\vert E\vert }}\ \ \ (1b)}$

Se supone que E es negativa, porque se requiere energía positiva para separar el electrón del núcleo y ponerlo en reposo a una distancia infinita.

La ecuación (1a) se obtiene igualando la fuerza centrípeta a la fuerza de Coulomb que actúa entre el núcleo y el electrón, considerando que${\displaystyle E=T+U}$(donde T es la energía cinética promedio y U el potencial electrostático promedio), y que para la segunda ley de Kepler, la separación promedio entre el electrón y el núcleo es a .

La ecuación (1b) se obtiene a partir de las mismas premisas de la ecuación (1a) más el teorema del virial, que establece que, para una órbita elíptica,

${\displaystyle T=-{\frac {1}{2}}U\ \ \ (1c).}$

Entonces Bohr supone que${\displaystyle \vert E\vert }$es un múltiplo entero de la energía de un cuanto de luz con la mitad de la frecuencia de revolución del electrón, ^{[ 11 ] : 4} ie:

${\displaystyle \vert E\vert =nh{\frac {\nu }{2}}\ \ \ (2).}$

De la ecuación (1a, 1b, 2), se deduce:

${\displaystyle \vert E\vert ={\frac {2\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{2}h^{2}}}\ \ \ (3a)}$

${\displaystyle \nu ={\frac {4\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{3}h^{3}}}\ \ \ (3b)}$

${\displaystyle 2a={\frac {n^{2}h^{2}}{2\pi ^{2}m_{\text{e}}eK}}\ \ \ (3c).}$

Además, supone que la órbita es circular, es decir${\displaystyle a=r}$y, denotando el momento angular del electrón como L , se introduce la ecuación:

${\displaystyle \pi L={\frac {T}{\nu }}\ \ \ (4).}$

La ecuación (4) se deriva del teorema del virial y de las relaciones de la mecánica clásica entre el momento angular, la energía cinética y la frecuencia de revolución.

De la ecuación (1c, 2, 4) se deduce:

${\displaystyle L=nL_{0},}$

dónde:

${\displaystyle L_{0}={\frac {h}{2\pi }}=\hbar ,}$

eso es:

${\displaystyle L=n\hbar .}$

Este resultado indica que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de la constante de Planck reducida. ^{[ 11 ] : 15}

Sustituyendo la expresión de la velocidad se obtiene una ecuación para r en términos de n :

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,}$

de modo que el radio de órbita permitido en cualquier n sea

${\displaystyle r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.}$

El valor más pequeño posible de r en el átomo de hidrógeno ( Z = 1 ) se llama radio de Bohr y es igual a:

${\displaystyle r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .}$

La energía del n -ésimo nivel para cualquier átomo está determinada por el radio y el número cuántico:

${\displaystyle E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6\ Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .}$

Un electrón en el nivel de energía más bajo del hidrógeno ( n = 1 ) tiene, por lo tanto, aproximadamente 13,6 eV menos de energía que un electrón inmóvil infinitamente lejos del núcleo. El siguiente nivel de energía ( n = 2 ) es de −3,4 eV. El tercero ( n = 3 ) es de −1,51 eV, y así sucesivamente. Para valores mayores de n , estas son también las energías de enlace de un átomo altamente excitado con un electrón en una gran órbita circular alrededor del resto del átomo. La fórmula del hidrógeno también coincide con el producto de Wallis . ^{[ 29 ]}   

La combinación de constantes naturales en la fórmula de la energía se denomina energía de Rydberg ( R _E ):

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.}$

Esta expresión se aclara interpretándola en combinaciones que forman unidades más naturales :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }c^{2}}$es la energía de masa en reposo del electrón (511  keV),

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}}$es la constante de estructura fina ,

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$.

Dado que esta derivación se basa en la suposición de que el núcleo está orbitado por un electrón, podemos generalizar este resultado haciendo que el núcleo tenga una carga q = Ze , donde Z es el número atómico. Esto nos dará ahora los niveles de energía para los átomos hidrogenoides (similares al hidrógeno), que pueden servir como una aproximación aproximada del orden de magnitud de los niveles de energía reales. Así pues, para núcleos con Z protones, los niveles de energía son (en una aproximación aproximada):

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.}$

Los niveles de energía reales no se pueden resolver analíticamente para más de un electrón (véase el problema de n cuerpos ) porque los electrones no solo se ven afectados por el núcleo , sino que también interactúan entre sí a través de la fuerza de Coulomb .

Cuando Z ⁼ 1/ α ( Z ≈ 137 ), el movimiento se vuelve altamente relativista y Z² cancela α² en R ; la energía orbital comienza a ser comparable a ^la energía en reposo. Los núcleos suficientemente grandes, si fueran estables, reducirían su carga creando un electrón ligado del vacío, expulsando el positrón al infinito. Este es el fenómeno teórico del apantallamiento electromagnético de carga que predice una carga nuclear máxima. Se ha observado la emisión de tales positrones en las colisiones de iones pesados ​​para crear núcleos superpesados ​​temporales. ^{[ 30 ]}

La fórmula de Bohr utiliza correctamente la masa reducida del electrón y del protón en todas las situaciones, en lugar de la masa del electrón,

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.}$

Sin embargo, estos números son casi iguales, debido a la masa mucho mayor del protón, aproximadamente 1836,1 veces la masa del electrón, de modo que la masa reducida en el sistema es la masa del electrón multiplicada por la constante 1836,1/(1 + 1836,1) = 0,99946 . Este hecho fue históricamente importante para convencer a Rutherford de la importancia del modelo de Bohr, ya que explicaba el hecho de que las frecuencias de las líneas en los espectros del helio ionizado una vez no difieren de las del hidrógeno por un factor de exactamente 4, sino más bien por 4 veces la relación de la masa reducida para los sistemas de hidrógeno frente al helio, que estaba mucho más cerca de la relación experimental que exactamente 4.

Para el positronio, la fórmula también utiliza la masa reducida, pero en este caso, es exactamente la masa del electrón dividida por 2. Para cualquier valor del radio, el electrón y el positrón se mueven cada uno a la mitad de la velocidad alrededor de su centro de masa común, y cada uno tiene solo una cuarta parte de la energía cinética. La energía cinética total es la mitad de la que tendría un solo electrón moviéndose alrededor de un núcleo pesado.

${\displaystyle E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}}$(positronio).

A partir de finales de la década de 1860, Johann Balmer y más tarde Johannes Rydberg y Walther Ritz desarrollaron fórmulas empíricas cada vez más precisas que coincidían con las líneas espectrales atómicas medidas. Fundamental para el trabajo posterior de Bohr, Rydberg expresó su fórmula en términos de número de onda, equivalente a la frecuencia. ^{[ 31 ]} Estas fórmulas contenían una constante,${\displaystyle R}$, ahora conocida como la constante de Rydberg y un par de enteros que indexan las líneas: ^{[ 14 ] : 247}$${\displaystyle \nu =R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).}$$ A pesar de muchos intentos, ninguna teoría del átomo pudo reproducir estas fórmulas relativamente simples. ^{[ 14 ] : 169}

En la teoría de Bohr, la descripción de las energías de las transiciones o saltos cuánticos entre niveles de energía orbitales puede explicar la fórmula de Rydberg. Para el átomo de hidrógeno, Bohr parte de su fórmula derivada para la energía liberada cuando un electrón libre se mueve a una órbita circular estable indexada por${\displaystyle \tau }$: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle W_{\tau }={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}\tau ^{2}}}}$$ La diferencia de energía entre dos niveles de este tipo es entonces: $${\displaystyle h\nu =W_{\tau _{2}}-W_{\tau _{1}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)}$$ Por lo tanto, la teoría de Bohr da la fórmula de Rydberg y además el valor numérico de la constante de Rydberg para el hidrógeno en términos de constantes más fundamentales de la naturaleza, incluyendo la carga del electrón, la masa del electrón y la constante de Planck : ^{[ 33 ] : 31 [ 34 ]}$${\displaystyle cR_{\text{H}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}.}$$

Dado que la energía de un fotón es

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},}$

Estos resultados pueden expresarse en términos de la longitud de onda del fotón emitido:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{\text{f}}^{2}}}-{\frac {1}{n_{\text{i}}^{2}}}\right).}$

La derivación de la constante de Rydberg por parte de Bohr, así como la concordancia concomitante de la fórmula de Bohr con las líneas espectrales observadas experimentalmente de las series de Lyman ( n _f = 1), Balmer ( n _f = 2) y Paschen ( n _f = 3), y la predicción teórica exitosa de otras líneas aún no observadas, fue una de las razones por las que su modelo fue aceptado de inmediato. ^{[ 34 ] : 34}

Para aplicarla a átomos con más de un electrón, la fórmula de Rydberg puede modificarse sustituyendo Z por Z − b o n por n − b , donde b es una constante que representa un efecto de apantallamiento debido a los electrones de la capa interna y otros electrones (véase Capa electrónica y la posterior discusión sobre el "Modelo de capas del átomo" más adelante). Esto se estableció empíricamente antes de que Bohr presentara su modelo.

Los tres artículos originales de Bohr de 1913 describían principalmente la configuración electrónica en los elementos más ligeros. En ese mismo año, Bohr denominó a sus capas electrónicas "anillos". En la época de su modelo planetario, no existían orbitales atómicos dentro de las capas. En la tercera parte de su famoso artículo de 1913, Bohr explica que el número máximo de electrones en una capa es ocho, y escribe: "Vemos, además, que un anillo de n electrones no puede girar en un solo círculo alrededor de un núcleo con carga n _e a menos que n < 8". Para átomos más pequeños, las capas electrónicas se llenarían de la siguiente manera: "los anillos de electrones solo se unirán si contienen el mismo número de electrones; y, por consiguiente, el número de electrones en los anillos interiores será solo 2, 4 y 8". Sin embargo, en átomos más grandes, la capa más interna contendría ocho electrones, "por otro lado, la tabla periódica de los elementos sugiere fuertemente que ya en el neón N = 10 se producirá un anillo interior de ocho electrones". Bohr escribió: "De lo anterior se nos lleva al siguiente posible esquema para la disposición de los electrones en átomos ligeros:" ^{[ 35 ] [ 4 ] [ 8 ]}

En el tercer artículo de Bohr de 1913, la Parte III titulada "Sistemas que contienen varios núcleos", afirma que dos átomos forman moléculas en un plano simétrico y retoma la descripción del hidrógeno. ^{[ 36 ]} El modelo de Bohr de 1913 no abordó en detalle los elementos superiores, y John William Nicholson fue uno de los primeros en demostrar en 1914 que no funcionaba para el litio, pero sí era una teoría atractiva para el hidrógeno y el helio ionizado. ^{[ 8 ] [ 37 ]}

En 1921, siguiendo el trabajo de químicos y otros involucrados en la elaboración de la tabla periódica , Bohr extendió el modelo del hidrógeno para dar un modelo aproximado para átomos más pesados. Esto proporcionó una imagen física que reproducía por primera vez muchas propiedades atómicas conocidas, aunque estas propiedades se propusieron simultáneamente con el trabajo idéntico del químico Charles Rugeley Bury ^{[ 4 ] [ 38 ].}

El compañero de investigación de Bohr entre 1914 y 1916 fue Walther Kossel, quien corrigió el trabajo de Bohr para demostrar que los electrones interactuaban a través de los anillos exteriores, y Kossel llamó a estos anillos: "capas". ^{[ 39 ] [ 40 ]} A Irving Langmuir se le atribuye la primera disposición viable de electrones en capas con solo dos en la primera capa y hasta ocho en la siguiente según la regla del octeto de 1904, aunque Kossel ya había predicho un máximo de ocho por capa en 1916. ^{[ 41 ]} Los átomos más pesados ​​tienen más protones en el núcleo y más electrones para cancelar la carga. Bohr tomó de estos químicos la idea de que cada órbita discreta solo podía contener un cierto número de electrones. Según Kossel , después de que la órbita se llena, se tendría que usar el siguiente nivel. ^{[ 4 ]} Esto le da al átomo una estructura de capas diseñada por Kossel, Langmuir y Bury, en la que cada capa corresponde a una órbita de Bohr.

Este modelo es incluso más aproximado que el del hidrógeno, ya que considera que los electrones de cada capa no interactúan entre sí. Sin embargo, el fenómeno de apantallamiento tiene en cuenta, en cierta medida, las repulsiones entre electrones . Los electrones de las órbitas exteriores no solo orbitan alrededor del núcleo, sino que también se mueven alrededor de los electrones internos, por lo que la carga efectiva Z que experimentan se reduce en función del número de electrones en la órbita interior.

Por ejemplo, el átomo de litio tiene dos electrones en la órbita 1s más baja, y estos orbitan a Z  =  2. Cada uno percibe la carga nuclear de Z  =  3 menos el efecto de apantallamiento del otro, lo que reduce la carga nuclear en aproximadamente 1 unidad. Esto significa que los electrones más internos orbitan a aproximadamente la mitad del radio de Bohr. El electrón más externo del litio orbita a aproximadamente el radio de Bohr, ya que los dos electrones internos reducen la carga nuclear en 2. Este electrón externo debería estar a casi un radio de Bohr del núcleo. Debido a que los electrones se repelen fuertemente entre sí, la descripción de la carga efectiva es muy aproximada; la carga efectiva Z no suele ser un número entero.

El modelo de capas permitió explicar cualitativamente muchas de las misteriosas propiedades de los átomos, las cuales se codificaron a finales del siglo XIX en la tabla periódica de los elementos . Una de estas propiedades era el tamaño de los átomos, que podía determinarse aproximadamente midiendo la viscosidad de los gases y la densidad de los sólidos cristalinos puros. Los átomos tienden a disminuir de tamaño hacia la derecha en la tabla periódica y a aumentar considerablemente en la siguiente fila. Los átomos situados a la derecha tienden a ganar electrones, mientras que los situados a la izquierda tienden a perderlos. Todos los elementos de la última columna de la tabla son químicamente inertes ( gases nobles ).

En el modelo de capas, este fenómeno se explica por el llenado de capas. Los átomos sucesivos se vuelven más pequeños porque llenan órbitas del mismo tamaño, hasta que la órbita se llena, momento en el que el siguiente átomo en la tabla periódica tiene un electrón externo débilmente ligado, lo que provoca su expansión. La primera órbita de Bohr se llena cuando tiene dos electrones, lo que explica por qué el helio es inerte. La segunda órbita permite ocho electrones, y cuando se llena, el átomo es neón, también inerte. La tercera órbita contiene ocho electrones, excepto que en el tratamiento de Sommerfeld, más preciso (reproducido en la mecánica cuántica moderna), hay electrones "d" adicionales. La tercera órbita puede contener 10 electrones d adicionales, pero estas posiciones no se llenan hasta que se llenan algunos orbitales más del siguiente nivel (llenar los n = 3 orbitales d produce los 10 elementos de transición ). El patrón de llenado irregular es un efecto de las interacciones entre electrones, que no se tienen en cuenta ni en el modelo de Bohr ni en el de Sommerfeld y que son difíciles de calcular incluso en el tratamiento moderno.

Niels Bohr dijo en 1962: «Como ven, la obra de Rutherford no se tomó en serio. Hoy no lo entendemos, pero no se la tomó en serio en absoluto. No se la mencionó en ningún sitio. El gran cambio vino de Moseley». ^{[ 42 ]}

En 1913, Henry Moseley encontró una relación empírica entre la línea de rayos X más fuerte emitida por átomos bajo bombardeo de electrones (entonces conocida como la línea K-alfa ) y su número atómico Z. Se encontró que la fórmula empírica de Moseley era derivable de la fórmula de Rydberg y posteriormente de la fórmula de Bohr (Moseley en realidad solo menciona a Ernest Rutherford y Antonius Van den Broek en términos de modelos, ya que estos se habían publicado antes del trabajo de Moseley y el artículo de Moseley de 1913 se publicó el mismo mes que el primer artículo del modelo de Bohr). ^{[ 43 ]} Las dos suposiciones adicionales de que [1] esta línea de rayos X provenía de una transición entre niveles de energía con números cuánticos 1 y 2, y [2] , que el número atómico Z cuando se usa en la fórmula para átomos más pesados ​​que el hidrógeno, debe disminuirse en 1, a ( Z  −  1) ² .

Moseley escribió a Bohr, desconcertado por sus resultados, pero Bohr no pudo ayudarlo. En aquel entonces, pensaba que la capa electrónica interna "K" postulada debía tener al menos cuatro electrones, no los dos que habrían explicado claramente el resultado. Así pues, Moseley publicó sus resultados sin una explicación teórica.

Fue Walther Kossel, en 1914 y 1916, quien explicó que en la tabla periódica se crearían nuevos elementos a medida que se añadieran electrones a la capa externa. En su artículo, Kossel escribe: «Esto lleva a la conclusión de que los electrones que se añaden posteriormente deben colocarse en anillos o capas concéntricas, en cada una de las cuales... solo debe disponerse un cierto número de electrones —ocho en nuestro caso—. Tan pronto como se completa un anillo o capa, hay que empezar uno nuevo para el siguiente elemento; el número de electrones, que son más fácilmente accesibles y se encuentran en la periferia más externa, aumenta de nuevo de un elemento a otro y, por lo tanto, en la formación de cada nueva capa se repite la periodicidad química». ^{[ 39 ] [ 40 ]} Más tarde, el químico Langmuir se dio cuenta de que el efecto era causado por el apantallamiento de carga, con una capa interna que contenía solo 2 electrones. En su artículo de 1919, Irving Langmuir postuló la existencia de "células" que solo podían contener dos electrones cada una, y que estas estaban dispuestas en "capas equidistantes".

En el experimento de Moseley, uno de los electrones más internos del átomo es expulsado, dejando una vacante en la órbita de Bohr más baja, que contiene un único electrón restante. Esta vacante es luego llenada por un electrón de la siguiente órbita, que tiene n=2. Pero los electrones n=2 ven una carga efectiva de Z  −  1, que es el valor apropiado para la carga del núcleo, cuando un solo electrón permanece en la órbita de Bohr más baja para apantallar la carga nuclear + Z , y disminuirla en −1 (debido a que la carga negativa del electrón apantalla la carga positiva nuclear). La energía ganada por un electrón que cae de la segunda capa a la primera da la ley de Moseley para las líneas K-alfa,

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right),}$

o

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15}~{\text{Hz}})(Z-1)^{2}.}$

Aquí, R _v = R _E / h es la constante de Rydberg, en términos de frecuencia igual a3,28 × 10 ¹⁵  Hz . Para valores de Z entre 11 y 31, esta última relación había sido derivada empíricamente por Moseley, en un gráfico simple (lineal) de la raíz cuadrada de la frecuencia de rayos X frente al número atómico (sin embargo, para la plata, Z = 47, el término de apantallamiento obtenido experimentalmente debe ser reemplazado por 0,4). A pesar de su validez restringida, ^{[ 44 ]} la ley de Moseley no solo estableció el significado objetivo del número atómico, sino que, como señaló Bohr, también hizo más que la derivación de Rydberg para establecer la validez del modelo nuclear del átomo de Rutherford/Van den Broek/Bohr, donde el número atómico (lugar en la tabla periódica) representa unidades enteras de carga nuclear. Van den Broek había publicado su modelo en enero de 1913 mostrando que la tabla periódica estaba organizada según la carga, mientras que el modelo atómico de Bohr no se publicó hasta julio de 1913. ^{[ 45 ]}

Ahora se sabe que la línea K-alfa de la época de Moseley es un par de líneas cercanas, escritas como ( Kα ₁ y Kα ₂ ) en notación Siegbahn .

El modelo de Bohr proporciona un valor incorrecto L = ħ para el momento angular orbital del estado fundamental: se sabe experimentalmente que el momento angular en el verdadero estado fundamental es cero. Aunque las representaciones mentales fallan un poco a estas escalas, se puede pensar que un electrón en el orbital moderno más bajo, sin momento angular orbital, no gira alrededor del núcleo, sino que simplemente lo rodea en una elipse de área cero (esto puede visualizarse como un movimiento de vaivén, sin chocar ni interactuar con el núcleo). Esto solo se reproduce en un tratamiento semiclasico más sofisticado, como el de Sommerfeld. Aun así, incluso el modelo semiclasico más sofisticado no logra explicar el hecho de que el estado de energía más bajo sea esféricamente simétrico; no apunta en ninguna dirección en particular.

En la mecánica cuántica moderna, el electrón en el hidrógeno es una nube esférica de probabilidad que se vuelve más densa cerca del núcleo. La constante de velocidad de decaimiento de la probabilidad en el hidrógeno es igual al inverso del radio de Bohr, pero dado que Bohr trabajó con órbitas circulares, no con elipses de área cero, el hecho de que estos dos números coincidan exactamente se considera una "coincidencia". (Sin embargo, se encuentran muchas coincidencias similares entre el tratamiento semiclasico y el tratamiento cuántico completo del átomo; estas incluyen niveles de energía idénticos en el átomo de hidrógeno y la derivación de una constante de estructura fina, que surge del modelo relativista de Bohr-Sommerfeld (véase más adelante) y que resulta ser igual a un concepto completamente diferente en la mecánica cuántica moderna).

El modelo de Bohr tampoco logró explicar:

• Gran parte de los espectros de átomos más grandes. En el mejor de los casos, puede hacer predicciones sobre los espectros de emisión de rayos X K-alfa y algunos L-alfa para átomos más grandes, si se hacen dos suposiciones ad hoc adicionales. Los espectros de emisión para átomos con un solo electrón en la capa externa (átomos del grupo del litio ) también pueden predecirse aproximadamente. Además, si se conocen los factores de apantallamiento electrón-núcleo empíricos para muchos átomos, se pueden deducir muchas otras líneas espectrales a partir de la información, en átomos similares de diferentes elementos, mediante los principios de combinación de Ritz-Rydberg (véase la fórmula de Rydberg ). Todas estas técnicas utilizan esencialmente la descripción newtoniana de energía-potencial del átomo de Bohr.
• Las intensidades relativas de las líneas espectrales; aunque en algunos casos sencillos, la fórmula de Bohr o modificaciones de la misma, pudieron proporcionar estimaciones razonables (por ejemplo, los cálculos de Kramers para el efecto Stark ).
• La existencia de estructura fina y estructura hiperfina en las líneas espectrales, que se sabe que se deben a una variedad de efectos relativistas y sutiles, así como a complicaciones derivadas del espín electrónico.
• El efecto Zeeman : cambios en las líneas espectrales debidos a campos magnéticos externos ; estos también se deben a principios cuánticos más complejos que interactúan con el espín electrónico y los campos magnéticos orbitales.
• En los espectros de algunos átomos, los dobletes y tripletes aparecen como pares de líneas muy próximas entre sí. El modelo de Bohr no puede explicar por qué algunos niveles de energía se encuentran tan cerca unos de otros.
• Los átomos multielectrónicos no tienen los niveles de energía predichos por el modelo. No funciona para el helio (neutro).

Otro problema con el modelo de Bohr era que, aunque un electrón en un estado estacionario${\displaystyle n}$se describe en movimiento periódico y, por lo tanto, debe asociarse con una frecuencia de radiación característica.${\displaystyle \omega (n)}$No se midió experimentalmente ninguna frecuencia de este tipo. Heisenberg intentó solucionar este problema en el artículo de Umdeutung reemplazando la idea de una única frecuencia orbital asociada con el movimiento del electrón por el conjunto de frecuencias espectrales observables.${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$(para una transición cuántica desde un estado estacionario)${\displaystyle n}$a${\displaystyle n-\alpha }$Para entonces, sin embargo, la órbita electrónica prácticamente había sido abandonada como algo físicamente significativo. ^{[ 46 ]}

Niels Bohr propuso un modelo del átomo y un modelo del enlace químico . Según su modelo para una molécula diatómica , los electrones de los átomos de la molécula forman un anillo giratorio cuyo plano es perpendicular al eje de la molécula y equidistante de los núcleos atómicos. El equilibrio dinámico del sistema molecular se alcanza mediante el balance de fuerzas entre las fuerzas de atracción de los núcleos hacia el plano del anillo de electrones y las fuerzas de repulsión mutua de los núcleos. El modelo de enlace químico de Bohr tuvo en cuenta la repulsión de Coulomb : los electrones en el anillo se encuentran a la máxima distancia entre sí. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

Aunque el modelo atómico de Bohr fue reemplazado por los modelos cuánticos en la década de 1920, la imagen visual de electrones orbitando un núcleo ha permanecido como el concepto popular de átomo. El concepto de átomo como un pequeño sistema planetario se ha utilizado ampliamente como símbolo de átomos e incluso de energía "atómica" (aunque esta se considera más propiamente energía nuclear). ^{[ 49 ] : 58} Algunos ejemplos de su uso durante el último siglo incluyen, entre otros:

• El logotipo de la Comisión de Energía Atómica de los Estados Unidos , que fue en parte responsable de su uso posterior en relación con la tecnología de fisión nuclear en particular.
• La bandera del Organismo Internacional de Energía Atómica es un "emblema de escudo y átomo giratorio", ^{[ 50 ]} encerrado entre ramas de olivo .
• El logotipo de los Albuquerque Isotopes , equipo de béisbol de ligas menores de Estados Unidos , muestra pelotas de béisbol representadas por electrones que orbitan una gran letra "A".
• Un símbolo similar, el remolino atómico , fue elegido como símbolo de los ateos estadounidenses y ha llegado a utilizarse como símbolo del ateísmo en general.
• El punto de código U+269B (⚛) de los símbolos misceláneos de Unicode para un átomo se parece a un modelo de átomo planetario.
• La serie de televisión The Big Bang Theory utiliza una imagen que se asemeja a un planeta en su logotipo impreso.
• La biblioteca de JavaScript React utiliza una imagen que se asemeja a un planeta como logotipo.
• En los mapas, se utiliza generalmente para indicar una instalación de energía nuclear .
• Tanto el escudo como el logotipo del Instituto de Tecnología de la Fuerza Aérea presentan un átomo de Bohr en sus respectivos diseños.

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  • Reimpresión: Linus Pauling (1988). Química general . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-65622-5.
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• Walter J. Lehmann (1972). «Capítulo 18». Estructura atómica y molecular: el desarrollo de nuestros conceptos . John Wiley and Sons. ISBN 0-471-52440-9.
• Paul Tipler y Ralph Llewellyn (2002). Física moderna (4.ª  ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.
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• Steven y Susan Zumdahl (2010). «Capítulo 7.4». Química (8.ª  ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-82992-8.
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• Ondas estacionarias en el modelo atómico de Bohr : una simulación interactiva para explicar intuitivamente la condición de cuantización de las ondas estacionarias en el modelo atómico de Bohr.
• wikiversidad:longitud de onda de De Broglie