Clase de puntos

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , una clase de puntos es una colección de conjuntos de puntos , donde un punto se entiende generalmente como un elemento de algún espacio polaco perfecto . En la práctica, una clase de puntos se caracteriza habitualmente por alguna propiedad de definibilidad ; por ejemplo, la colección de todos los conjuntos abiertos en una colección fija de espacios polacos es una clase de puntos. (Un conjunto abierto puede considerarse definible en cierto sentido porque no puede ser una colección de puntos puramente arbitraria; para cualquier punto del conjunto, todos los puntos suficientemente cercanos a él también deben pertenecer al conjunto).

Las clases de puntos encuentran aplicación en la formulación de muchos principios y teoremas importantes de la teoría de conjuntos y el análisis real . Los principios fuertes de la teoría de conjuntos pueden enunciarse en términos de la determinabilidad de varias clases de puntos, lo que a su vez implica que los conjuntos en esas clases de puntos (o a veces en clases más grandes) tienen propiedades de regularidad tales como la mensurabilidad de Lebesgue (e incluso la mensurabilidad universal ), la propiedad de Baire y la propiedad de conjunto perfecto .

En la práctica, los teóricos de conjuntos descriptivos suelen simplificar las cosas trabajando en un espacio polaco fijo, como el espacio de Baire o, a veces, el espacio de Cantor , cada uno de los cuales tiene la ventaja de ser cero-dimensional y, de hecho, homeomorfo a sus potencias finitas o numerables , de modo que nunca surgen consideraciones de dimensionalidad. Yiannis Moschovakis proporciona mayor generalidad al fijar de una vez por todas una colección de espacios polacos subyacentes, incluyendo el conjunto de todos los naturales, el conjunto de todos los reales, el espacio de Baire y el espacio de Cantor, y permitiendo al lector añadir cualquier espacio polaco perfecto que desee. Luego define un espacio producto como cualquier producto cartesiano finito de estos espacios subyacentes. Entonces, por ejemplo, la clase de puntos${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$de todos los conjuntos abiertos significa la colección de todos los subconjuntos abiertos de uno de estos espacios producto. Este enfoque evita${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$de ser una clase propiamente dicha , mientras se evita una especificidad excesiva en cuanto a los espacios polacos particulares que se están considerando (dado que el enfoque está en el hecho de que${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$es la colección de conjuntos abiertos, no los espacios en sí mismos).

Las clases de puntos en la jerarquía de Borel , y en la jerarquía proyectiva más compleja , están representadas por letras griegas en subíndice y superíndice en fuentes en negrita ; por ejemplo,${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$es la clase puntual de todos los conjuntos cerrados ,${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}}$es la clase puntual de todos los conjuntos F _σ ,${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}}$es la colección de todos los conjuntos que son simultáneamente F _σ y G _δ , y${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$es la clase puntual de todos los conjuntos analíticos .

Los conjuntos en tales clases de puntos necesitan ser "definibles" solo hasta un punto. Por ejemplo, cada conjunto unitario en un espacio polaco es cerrado y, por lo tanto,${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$Por lo tanto, no puede ser que cada${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$Un conjunto debe ser "más definible" que un elemento arbitrario de un espacio polaco (por ejemplo, un número real arbitrario o una secuencia contable arbitraria de números naturales). Sin embargo, las clases de puntos en negrita pueden requerir (y en la práctica suelen requerir) que los conjuntos de la clase sean definibles con respecto a algún número real, tomado como oráculo . En ese sentido, la pertenencia a una clase de puntos en negrita es una propiedad de definibilidad, aunque no sea una definibilidad absoluta, sino solo definibilidad con respecto a un número real posiblemente indefinible.

Las clases de puntos en negrita, o al menos las que se consideran habitualmente, son cerradas bajo la reducibilidad de Wadge ; es decir, dado un conjunto en la clase de puntos, su imagen inversa bajo una función continua (de un espacio producto al espacio del cual el conjunto dado es un subconjunto) también pertenece a la clase de puntos dada. Por lo tanto, una clase de puntos en negrita es una unión cerrada hacia abajo de grados de Wadge .

Las jerarquías de Borel y proyectivas tienen análogos en la teoría de conjuntos descriptiva efectiva en la que la propiedad de definibilidad ya no se relativiza a un oráculo, sino que se hace absoluta. Por ejemplo, si se fija alguna colección de vecindarios abiertos básicos (digamos, en el espacio de Baire, la colección de conjuntos de la forma { x ∈ ω ^ω${\displaystyle \mid }$s es un segmento inicial de x } para cada secuencia finita fija s de números naturales), entonces el abierto, o${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$Los conjuntos pueden caracterizarse como todas las uniones (arbitrarias) de vecindarios abiertos básicos. El análogo${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$conjuntos, con una cara clara${\displaystyle \Sigma }$, ya no son uniones arbitrarias de tales vecindarios, sino uniones computables de ellos. Es decir, un conjunto es lightface${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$, también llamado efectivamente abierto , si existe un conjunto computable S de secuencias finitas de naturales tal que el conjunto dado es la unión de los conjuntos { x ∈ ω ^ω${\displaystyle \mid }$s es un segmento inicial de x } para s en S .

Un conjunto es lightface${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$si es el complemento de un${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$conjunto. Por lo tanto, cada${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$un conjunto tiene al menos un índice , que describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos de los que está compuesto; de hecho, tendrá infinitos índices de este tipo. De manera similar, un índice para un${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$El conjunto B describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos en el complemento de B.

Un conjunto A es de cara clara ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$si se trata de una unión de una secuencia computable de${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$conjuntos (es decir, existe una enumeración computable de índices de${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$conjuntos tales que A es la unión de estos conjuntos). Esta relación entre los conjuntos lightface y sus índices se utiliza para extender la jerarquía de Borel lightface a la transfinita, mediante ordinales recursivos . Esto produce la jerarquía hiperaritmética , que es el análogo lightface de la jerarquía de Borel. (Los niveles finitos de la jerarquía hiperaritmética se conocen como jerarquía aritmética ).

Se puede aplicar un tratamiento similar a la jerarquía proyectiva. Su análogo en Lightface se conoce como jerarquía analítica .

Cada clase es al menos tan grande como las clases superiores a ella.

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . North Holland. ISBN 0-444-70199-0.