Gráfico de enlaces

El grafo de enlaces utiliza el flujo de energía, o potencia, como base para abstraer analogías entre diferentes dominios físicos. ^{[ 4 ]} Las variables conjugadas de potencia son un par de variables cuyo producto es la potencia, y una lista de estas aparece en la tabla para varios dominios físicos. Como se indica en la tabla, el grafo de enlaces utiliza la analogía esfuerzo/flujo para categorizar cada una de las dos variables conjugadas; la analogía a través/a través también es posible, pero no se usa comúnmente. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El símbolo convencional del grafo de enlaces para el esfuerzo es e, y el del flujo es f. ^{[ 4 ]}

Además de las dos variables de potencia conjugada e y f, el gráfico de enlaces utiliza dos variables integradas p y q donde:

${\displaystyle p=\int ^{t}e(\tau )d\tau ~~~{\text{and}}~~~q=\int ^{t}f(\tau )d\tau }$

equivalentemente:

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {dp}{dt}}=e~~~{\text{and}}~~~{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}=f}$

El símbolo del arpón que se muestra en la figura representa un enlace de energía; la dirección del arpón corresponde a un flujo de energía positivo y a una convención de signos. Las variables conjugadas se muestran en cada enlace con fines ilustrativos.

Las definiciones que relacionan p con e y q con f se indican diagramáticamente. Las propiedades físicas se encapsulan en ecuaciones constitutivas que relacionan las variables de energía y potencia. En el diagrama, C representa la ecuación constitutiva que relaciona q con e, I representa la ecuación constitutiva que relaciona p con f y R representa la ecuación constitutiva que relaciona e con f. En lugar de colocar e, f, p y q en los cuatro vértices de un cuadrado como en el diagrama, también se pueden colocar en los cuatro vértices de un tetraedro ; dicho diagrama se denomina tetraedro de estado. ^{[ 4 ]}

Estas tres ecuaciones constitutivas${\displaystyle \Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{and}}~\Phi _{R}}$Corresponden a tres componentes, cada una relacionada con e y f: dos componentes dinámicas, C e I, que incorporan un integrador y el componente R. ^{[ 4 ]} Los componentes C e I almacenan, pero no disipan energía; R disipa, pero no almacena energía. También es posible definir un componente memristor que vincule p y q, pero este componente no se usa comúnmente. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{and}}~\Phi _{R}}$Pueden ser funciones lineales o no lineales que relacionan las variables de la siguiente manera:

${\displaystyle q=\Phi _{C}(e),~~p=\Phi _{I}(f)~~{\text{and}}~~e=\Phi _{R}(f)}$

en el caso lineal:

${\displaystyle q=Ce,~~p=If,~~e=Rf}$

dónde${\displaystyle C,~I,~{\text{and}}~R}$son constantes escalares que representan la capacitancia, la inercia y la resistencia generalizadas, respectivamente.

Dado que e y f son variables conjugadas, se encuentran en un enlace simple y, por lo tanto, los tres componentes C, I y R están conectados a un enlace simple, lo que implica que tienen un único canal de energía a través del cual fluye la energía. Los componentes y el enlace incidente se muestran en la figura. Por convención, los enlaces apuntan hacia estos tres componentes.

Los diagramas de circuitos eléctricos presentan dos tipos de conexión: en paralelo y en serie, o tensión común y corriente común; distribuyen, pero no almacenan ni disipan energía. La analogía gráfica de las conexiones de tensión común y corriente común son la unión 0 (esfuerzo común) y la unión 1 (flujo común), respectivamente; ambas distribuyen, pero no almacenan ni disipan energía. ^{[ 4 ]}

Todos los enlaces que inciden en una unión 0 tienen el mismo esfuerzo. Como la energía se distribuye, no se disipa, se deduce que la suma de los flujos de energía entrantes (indicados por los enlaces que apuntan hacia adentro) debe ser igual a la suma de los flujos de energía salientes (indicados por los enlaces que apuntan hacia afuera). Por lo tanto, si el esfuerzo común es e, la restricción del flujo de potencia implica que la suma de los${\displaystyle m}$entradas${\displaystyle f_{i}^{in}}$debe ser igual a la suma de los${\displaystyle n}$salidas${\displaystyle f_{j}^{out}}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}^{out}}$

Utilizando el mismo argumento, los esfuerzos que inciden en una unión 1 están limitados por:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}e_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}e_{j}^{out}}$

Sistemas como los sistemas eléctricos y mecánicos simples de la figura no tienen conexión con el entorno. Dichas conexiones pueden incluir voltajes y fuerzas externas (es decir, esfuerzos) y corrientes y velocidades externas (es decir, flujos). De igual manera, las mediciones externas de esfuerzos y flujos también son importantes. Para construir un sistema jerárquico, es conveniente definir puertos de energía a través de los cuales la energía puede fluir entre sistemas. Estas cinco posibilidades corresponden a cinco componentes del grafo de enlaces: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle {\text{S}}_{e}}$una fuente de esfuerzo análoga a la aplicación de voltajes externos y fuerzas externas
• ${\displaystyle {\text{S}}_{f}}$una fuente de flujo análoga a la aplicación de corrientes externas y velocidades externas
• ${\displaystyle {\text{D}}_{e}}$, un sensor de esfuerzo (detector) análogo a la medición de voltaje y fuerzas
• ${\displaystyle {\text{D}}_{f}}$, un sensor de flujo (detector) análogo a la medición de corrientes y velocidades
• ${\displaystyle {\text{SS}}}$, un componente fuente/sensor que actúa como${\displaystyle {\text{S}}_{e}}$-${\displaystyle {\text{D}}_{f}}$y como${\displaystyle {\text{S}}_{f}}$-${\displaystyle {\text{D}}_{e}}$pares así como un puerto de energía para conexiones externas. ^{[ 3 ]}

Por ejemplo, el sistema masa-resorte-amortiguador puede aumentarse con una fuerza.${\displaystyle F}$aplicado a la masa y una medición de la velocidad de la masa${\displaystyle v}$utilizando un único componente SS. Se ha incluido la notación de dos puntos; SS:io se refiere al hecho de que el par fuerza-velocidad podría considerarse como entrada y salida del sistema.

Las variables de esfuerzo y flujo conjugadas tienen unidades diferentes en cada dominio de energía, por lo que los modelos de un dominio no pueden conectarse directamente mediante enlaces a un dominio de energía diferente. Sin embargo, dado que la potencia tiene las mismas unidades (J/s o W) en cada dominio, los componentes transductores de potencia de dos puertos TF y GY pueden utilizarse para proporcionar dichas conexiones. ^{[ 4 ]} Como los dos componentes transmiten, pero no almacenan ni disipan potencia, se deduce que la potencia asociada a las variables conjugadas de los enlaces izquierdo y derecho debe ser la misma:

${\displaystyle e_{2}f_{2}=e_{1}f_{1}}$

Cada componente tiene un módulo${\displaystyle m}$asociado a él. En el caso del componente TF:

${\displaystyle e_{2}=me_{1}~~{\text{and}}~~f_{1}=mf_{2}}$

En el caso del componente GY:

${\displaystyle e_{2}=mf_{1}~~{\text{and}}~~e_{1}=mf_{2}}$

Por ejemplo, un pistón sin fricción y sin masa de área${\displaystyle A}$convierte la energía hidráulica en energía mecánica de modo que la presión hidráulica${\displaystyle P}$está relacionado con la fuerza mecánica${\displaystyle F}$por:

${\displaystyle F=AP}$

y flujo hidráulico${\displaystyle V}$a la velocidad del pistón${\displaystyle v}$por:

${\displaystyle V=Av}$

Por lo tanto, la analogía del gráfico de enlaces es el componente TF con módulo${\displaystyle m=A}$dónde${\displaystyle e_{1}=P,~~f_{1}=V}$y${\displaystyle e_{2}=F,~~f_{2}=v}$.

Por ejemplo, un motor de CC ideal convierte la energía eléctrica en energía mecánica rotacional de modo que el par mecánico ${\displaystyle T}$está relacionado con la corriente eléctrica${\displaystyle i}$por:

${\displaystyle T=ki}$

y la fuerza contraelectromotriz (voltaje)${\displaystyle E}$a velocidad angular${\displaystyle \Omega }$por

${\displaystyle E=k\Omega }$

Por lo tanto, la analogía del gráfico de enlaces es el componente GY con módulo${\displaystyle m=k}$dónde${\displaystyle e_{1}=E,~~f_{1}=i}$y${\displaystyle e_{2}=T,~~f_{2}=\Omega }$.

En ambos casos, el comportamiento de transducción no ideal puede modelarse incluyendo en el modelo los componentes del gráfico de enlaces C, I y R.

Las variables del gráfico de enlaces para sistemas bioquímicos son:

• Desplazamiento: cantidad de especies químicas medida en moles , símbolo${\displaystyle x}$ (mol)
• Flujo: tasa de cambio de especies químicas, símbolo${\displaystyle v}$ (mol/s)
• Esfuerzo: potencial químico , o energía de Gibbs , por mol de una especie química, símbolo${\displaystyle \mu }$(J/mol) ^{[ 22 ]}

Nótese que el producto del esfuerzo y el flujo (μv) es, como siempre en la formulación del grafo de enlaces, la potencia (J/s).

Como se detalla a continuación, las características principales de los componentes utilizados para modelar sistemas bioquímicos son: los componentes R y C son no lineales, no se requiere un componente I y el componente R se reemplaza por un componente Re de dos puertos. ^{[ 15 ]}

El componente TF (transformador) del gráfico de enlaces representa la transducción de energía dentro o entre dominios de energía. ^{[ 4 ]} (Nótese que el componente TF se ha denominado componente TD (transducción) ^{[ 11 ] [ 12 ]} - TF es más utilizado. ^{[ 4 ]} ) Esta sección se centra en la transducción entre el dominio químico con esfuerzo${\displaystyle \mu }$(J/mol) y flujo${\displaystyle v}$(mol/s) y un dominio genérico con esfuerzo${\displaystyle e}$y flujo${\displaystyle f}$.

La característica clave del componente TF es que transmite energía sin disipación; ^{[ 4 ]} por lo tanto, con referencia a la figura:

${\displaystyle ef=\mu v}$

El transformador tiene un módulo m (con las unidades apropiadas) de modo que:

${\displaystyle f=mv}$

La fórmula de energía implica entonces que:

${\displaystyle \mu =me}$

Estequiometría

La estequiometría de una reacción química determina cuántas especies químicas se producen. Por lo tanto, por ejemplo, la reacción${\displaystyle {\ce {A <=> m B}}}$convierte un mol de especies${\displaystyle {\ce {A}}}$a m mol de especies${\displaystyle {\ce {B}}}$.

El caso donde${\displaystyle m=1}$corresponde a la reacción simple del primer ejemplo anterior. Usando el mismo enfoque para general${\displaystyle m}$, el flujo de reacción es: ^{[ 13 ] [ 15 ]}

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {m\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-(K_{B}x_{B})^{m}\right)}$

Se han modelado varios sistemas relevantes para la biología de sistemas utilizando grafos de enlaces. Estos incluyen:

• Homeostasis de los enterocitos ^{[ 29 ] [ 30 ]}
• Transporte de glucosa ^{[ 31 ]}
• Modelado electrofisiológico celular cardíaco ^{[ 30 ]}
• Circulación cerebral ^{[ 32 ]}
• Redes reguladoras de genes ^{[ 33 ]}
• Polimerización de filamentos de actina ^{[ 27 ]}
• Osciladores bioquímicos ^{[ 34 ]}
• Fotosíntesis ^{[ 15 ]}
• Circulación sanguínea ^{[ 35 ]}
• E. coli simplificada ^{[ 36 ]}
• Cadena de transporte de electrones mitocondrial ^{[ 37 ] [ 26 ]}
• Potencial de acción ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

El concepto de causalidad se visualiza mediante la notación de trazo causal. ^{[ 4 ]} Esta notación se introduce en las tres figuras donde los componentes R, C e I están conectados a un enlace aumentado por el trazo causal: una línea corta perpendicular al enlace y ubicada en cualquiera (pero no en ambos) extremos del enlace. (Para mayor claridad, las figuras corresponden a componentes lineales; en el caso no lineal,${\displaystyle Rf}$es reemplazado por ${\displaystyle \Phi _{R}(f)}$y ${\displaystyle e/R}$por ${\displaystyle \Phi _{R}^{-1}(e)}$y de forma similar para los componentes C e I. Mientras que un grafo de enlaces acausal (sin trazos) representa un conjunto de ecuaciones (donde los lados izquierdo y derecho de una ecuación se pueden intercambiar sin que cambie el significado), un grafo causal (con trazos en cada enlace) representa un conjunto de sentencias de asignación en las que el valor del lado izquierdo de la sentencia de asignación (representado aquí por  :=) se convierte en el valor de la expresión del lado derecho de la sentencia de asignación. Así, por ejemplo, la ecuación constitutiva de una resistencia lineal se puede escribir como ${\displaystyle e=Rf}$y${\displaystyle f=e/R}$sin cambiar el significado; pero, por el contrario, las dos sentencias de asignación e:=Rf y f  := e/R son diferentes. En particular, en el primer caso, se debe conocer f para calcular e, y en el segundo caso, se debe conocer e para calcular f.

La representación de la instrucción de asignación puede visualizarse gráficamente como un diagrama de bloques, donde cada instrucción de asignación se representa como un bloque, con la entrada en el lado derecho y la salida en el lado izquierdo. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Los diagramas de bloques para cada causalidad se muestran en las figuras correspondientes a cada componente. Cabe destacar que cada causalidad de un componente genera un diagrama de bloques diferente.

Componente R

La figura muestra la causalidad del componente R con una ecuación constitutiva lineal. (a) Se impone flujo a R y R impone esfuerzo; esto corresponde a la instrucción de asignación e  := Rf y al diagrama de bloques. (b) Se impone esfuerzo a R y R impone flujo; esto corresponde a la instrucción de asignación f  := e/R y al diagrama de bloques correspondiente.

El componente SS (sensor de fuente) actúa como una fuente de esfuerzo (${\displaystyle S_{e}}$), detector de flujo (${\displaystyle D_{f}}$) combinación cuando el accidente cerebrovascular causal está alejado del componente SS y viceversa . La figura muestra la causalidad del componente SS (fuente/sensor). (a) El SS actúa como una fuente de esfuerzo (${\displaystyle S_{e}}$) detector de flujo (${\displaystyle D_{f}}$) combinación. (b) El SS actúa como una fuente de flujo (${\displaystyle S_{f}}$), detector de esfuerzo (${\displaystyle D_{e}}$) combinación.

Dado que, por definición, todos los esfuerzos asociados a los vínculos que inciden en una unión 0 son iguales, se deduce que exactamente un vínculo puede imponer causalidad de esfuerzo. De manera similar, todos los flujos asociados a los vínculos que inciden en una unión 1 son iguales, por lo que se deduce que exactamente un vínculo puede imponer causalidad de flujo. Así, si un vínculo impone causalidad de esfuerzo en una unión 0, dicha unión impone esfuerzo a los demás vínculos, y si un vínculo impone causalidad de flujo en una unión 1, dicha unión impone flujo a los demás vínculos.

Cuando los componentes de un puerto (fuentes, C, I y R) se conectan mediante una estructura de unión compuesta por uniones 0, uniones 1, TF y GY, la causalidad asignada a cada componente de un puerto se propaga a través de la estructura de unión debido a las restricciones causales impuestas por los componentes de dicha estructura. Esta propagación puede aplicarse sistemáticamente mediante el procedimiento de asignación causal secuencial (SCAP): ^{[ 4 ]}

1. Seleccione cualquier fuente (SS, Se o Sf) y asigne la causalidad requerida. Extienda inmediatamente las implicaciones causales a través del grafo de enlaces hasta donde sea posible, utilizando las restricciones en los elementos de unión (0 y 1) y los elementos TF y GY.
2. Repita el paso 1 para todos los componentes de origen.
3. Elija cualquier elemento de almacenamiento (C o I) y asígnele la causalidad integral. Extienda inmediatamente las implicaciones causales a través del grafo de enlaces hasta donde sea posible, utilizando las restricciones en los elementos de unión (0 y 1) y los elementos TF y GY.
4. Repita el paso 3 hasta que a todos los elementos C e I se les haya asignado causalidad.

La figura muestra el resultado de este procedimiento en el ejemplo simple. En particular, el componente I impone causalidad de flujo sobre la unión 1, por lo que la unión 1 impone causalidad de flujo sobre los otros tres componentes: SS, C y R. Esto significa que los componentes C, R y SS imponen causalidad de esfuerzo sobre la unión 1; por lo tanto, el componente C está en causalidad integral y el componente R corresponde a la asignación.${\displaystyle e_{R}:=Rf}$.

Si bien este procedimiento puede realizarse manualmente para sistemas pequeños, un enfoque basado en computadora resulta más útil en general.

Este procedimiento puede tener tres resultados posibles.

1. Se completa con todos los componentes C e I en causalidad integral y todas las causalidades de enlace asignadas; el sistema resultante es un grafo de enlace causal y se puede convertir en un sistema de espacio de estados.
2. Todos los bonos tienen una causalidad asignada, pero uno o más componentes C o I tienen causalidad derivada.
3. Todos los componentes C e I tienen causalidad integral, pero a algunos enlaces no se les ha asignado causalidad.

Mientras que el caso 1 conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en forma de espacio de estados , el caso 2 da lugar a ecuaciones diferenciales algebraicas (EDA). Dependiendo del contexto, puede ser mejor reconsiderar el sistema físico subyacente para evitar las EDA, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} o puede ser posible reducir la EDA a una EDO ^{[ 6 ] [ 38 ]} o las EDA pueden resolverse utilizando un solucionador de EDA apropiado.

La representación de un sistema de grafos de enlaces contiene las ecuaciones constitutivas de cada componente, integradas en la estructura de enlaces y uniones.

La cuestión de cómo manipular un conjunto de ecuaciones para convertirlas en una forma adecuada para la computación analógica fue planteada y parcialmente respondida por Lord Kelvin. ^{[ 46 ]} Este enfoque subyace a la conversión de un modelo de grafo de enlaces a una representación de espacio de estados adecuada para la computación digital. ^{[ 47 ]}

El grafo de enlaces utiliza la noción de causalidad (del grafo de enlaces) para proporcionar una forma sistemática y constructiva de investigar si existe una representación del espacio de estados y, de ser así, cuál es esa representación; este enfoque de causalidad es muy adecuado para la implementación computacional y tiene una representación intuitiva en el propio grafo de enlaces utilizando la notación de trazos causales.

Un grafo de vínculos causales puede expresarse en forma de espacio de estados si: ^{[ 4 ]}

• cada vínculo tiene un accidente causal y
• cada componente ha permitido la causalidad
• Todos los componentes C e I están en causalidad integral.

El procedimiento de asignación causal secuencial (SCAP) proporciona un enfoque gráfico para determinar si un sistema representado por un grafo de enlaces tiene una representación en el espacio de estados. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

El diagrama de enlaces es análogo a varios sistemas diferentes; para mayor claridad, se utiliza el análogo mecánico como ejemplo, pero se aplica exactamente el mismo método a los dominios eléctricos y otros dominios físicos.

Es conveniente elegir los estados del sistema como las variables integradas correspondientes a los componentes en causalidad integral; en el caso del ejemplo simple, hay dos estados:${\displaystyle p}$correspondientes a la masa M y${\displaystyle q}$correspondiente al resorte. Las entradas y salidas del sistema corresponden a los componentes Se, Sf y SS. En este caso, hay una entrada y una salida correspondientes al componente SS: el esfuerzo (fuerza aplicada).${\displaystyle F}$) y el flujo medido (velocidad${\displaystyle v}$Guiados por los trazos causales, los derivados de estado (esfuerzo aplicado a los componentes I, flujo aplicado a los componentes C) pueden escribirse en términos de los estados. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}&=f={\frac {p}{m}}\\{\dot {p}}&=F-e_{c}-e_{r}=F-kq-df=F-kq-d{\frac {p}{m}}\end{aligned}}}$

Esto se puede escribir en el espacio de estados lineal estándar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}}$

donde el estado${\displaystyle x}$aporte${\displaystyle u}$y salida${\displaystyle y}$son dados por:

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}},\;u=F{\text{ and }}y=v}$

y las matrices${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$son dados por:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\-k&-{\frac {d}{m}}\end{pmatrix}},\;B={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\;C={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\end{pmatrix}}}$

La ecuación de estado tiene tres parámetros: la masa${\displaystyle m}$, la constante elástica${\displaystyle k}$y la constante de amortiguación${\displaystyle d}$.

Utilizando la notación habitual de la transformada de Laplace de la teoría de sistemas de control , la función de transferencia del sistema relaciona la entrada${\displaystyle u}$para generar${\displaystyle y}$es:

${\displaystyle {s \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}}$

Si bien puede resultar instructivo derivar estas fórmulas a mano, a menudo es conveniente utilizar álgebra computacional para realizar la misma función.

El comportamiento de un sistema lineal no solo está determinado por el denominador de la función de transferencia del sistema, sino también por el numerador. En el caso no lineal, el concepto de numerador de la función de transferencia se reemplaza por el concepto de dinámica cero . Contar con una interpretación física de la dinámica cero resulta útil para el diseño y rediseño de un sistema dinámico. Por esta razón, se ha desarrollado un enfoque de grafo de enlaces para la inversión de sistemas. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 41 ]}

Este procedimiento se ilustra mediante el diagrama de enlace del sistema masa-resorte-amortiguador, que, aunque lineal, ejemplifica las ideas clave. En particular, la inversión del sistema se realiza invirtiendo la causalidad en el componente fuente-sensor; por lo tanto, se invierte el rol de entrada y salida. En este caso particular, invertir la causalidad del componente SS implica que la causalidad del componente I también debe invertirse, ya que solo un componente puede imponer flujo en la unión 1. Así, solo un componente, el componente C, permanece en causalidad integral. Por lo tanto, la dinámica cero es de primer orden, lo que, en este caso simple, corresponde al hecho de que la función de transferencia del sistema original tiene un numerador de primer orden.

Tras los accidentes cerebrovasculares causales, el estado restante${\displaystyle q}$se puede escribir en términos de la entrada${\displaystyle v}$del sistema inverso

${\displaystyle {\dot {q}}=v}$

${\displaystyle p}$ya no es un estado, pero se puede escribir como:

${\displaystyle p=mv}$

la salida${\displaystyle F}$del sistema inverso es:

${\displaystyle F=kp+dv+{\dot {p}}=kp+dv+m{\dot {v}}}$

Este enfoque se basa en que la entrada y la salida del sistema se encuentren en el mismo componente del sistema de almacenamiento (SS); se dice que la entrada y la salida están ubicadas en el mismo lugar. Si esto no es así, debe utilizarse el concepto de bicausalidad.

El componente SS (fuente-sensor) tiene dos posibles configuraciones causales correspondientes a Se/Df (fuente de esfuerzo, sensor de flujo) y De/Sf (sensor de esfuerzo, fuente de flujo). Como se ilustra en la figura, el componente SS tiene dos configuraciones bicausales correspondientes a Se/Sf (fuente de esfuerzo, fuente de flujo) y De/Df (sensor de esfuerzo, sensor de flujo). Esto se representa gráficamente mediante medios trazos causales , donde el medio trazo del lado del arpón del vínculo corresponde al flujo y el medio trazo del otro lado del vínculo corresponde al esfuerzo.

Las reglas para la bicausalidad de las uniones son las mismas que para la causalidad: solo un enlace impone un esfuerzo a una unión 0 y solo un enlace impone un flujo a una unión 1. En el contexto de la inversión, los enlaces conectados a I, C y componentes no pueden ser bicausales.

Estas ideas se ilustran mediante un ejemplo con una fuente y un sensor que no están ubicados en el mismo lugar.

El ejemplo se amplía añadiendo una unión cero y un componente SS adicional. En el caso mecánico, esto corresponde a insertar un sensor de fuerza y ​​una fuente de velocidad entre el resorte y tierra; en el caso eléctrico, corresponde a añadir una fuente de corriente y un sensor de voltaje en paralelo al condensador. El ejemplo se simplifica estableciendo el flujo de la fuente de flujo añadida a cero, como se indica en el diagrama de enlaces.

Al igual que en el ejemplo colocalizado, se considera el sistema mecánico y se toma como entrada del sistema la fuerza.${\displaystyle F}$actuando sobre la masa M. Sin embargo, se considera que la salida es la fuerza.${\displaystyle F_{s}}$del resorte que no está ubicado junto con la fuerza aplicada${\displaystyle F}$.

El sistema de espacio de estados correspondiente es el mismo, excepto que la matriz de salida C viene dada por:

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}k&0\end{pmatrix}}}$

reflejando el cambio del sensor. La función de transferencia que relaciona la entrada${\displaystyle F}$para generar${\displaystyle F_{s}}$se convierte en:

${\displaystyle {k \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}}$

El denominador permanece sin cambios, pero el numerador es diferente, lo que refleja el cambio de sensor.

El sistema se invierte haciendo que la salida${\displaystyle F_{s}}$una entrada y la entrada${\displaystyle F}$una salida. Así, el SS de la izquierda se convierte en un sensor de esfuerzo y flujo, y el SS de la derecha en una fuente de esfuerzo y flujo con las causalidades correspondientes. Como los componentes I, C y R deben conservar la causalidad convencional, la bicausalidad se propaga como se muestra. Tanto los componentes I como C están en causalidad derivativa y, por lo tanto, la dinámica cero es de orden cero, lo que, en este caso simple, corresponde al hecho de que la función de transferencia del sistema original tiene un numerador de orden cero.

Como en el caso colocalizado, la función de transferencia del sistema inverso es el recíproco de la función de transferencia del sistema; nuevamente, el método de causalidad del grafo de enlaces también puede utilizarse para examinar la dinámica cero de sistemas no lineales. ^{[ 60 ] [ 41 ]}

Los pasos para resolver un problema electromagnético como un diagrama de enlaces son los siguientes:

1. Coloca una unión 0 en cada nodo.
2. Insertar fuentes, enlaces R, I, C, TR y GY con 1 unión
3. Tierra (ambos lados si hay un transformador o girador presente)
4. Asignar la dirección del flujo de potencia
5. Simplificar

Estos pasos se muestran con mayor claridad en los ejemplos que aparecen a continuación.

Los pasos para resolver un problema de mecánica lineal como un gráfico de enlaces son los siguientes:

1. Coloca uniones de 1 punto para cada velocidad distinta (normalmente en una masa).
2. Inserte los enlaces R y C en sus propias uniones 0 entre las uniones 1 donde actúan.
3. Inserte las fuentes y los enlaces I en las uniones 1 donde actúan.
4. Asignar la dirección del flujo de potencia
5. Simplificar

Estos pasos se muestran con mayor claridad en los ejemplos que aparecen a continuación.

El paso de simplificación es el mismo independientemente de si el sistema es electromagnético o mecánico lineal. Los pasos son:

1. Eliminar el vínculo de potencia cero (debido al suelo o a la velocidad cero)
2. Eliminar las uniones 0 y 1 con menos de tres enlaces.
3. Simplificar la alimentación en paralelo
4. Combinar 0 uniones en serie
5. Combinar 1 unión en serie

Estos pasos se muestran con mayor claridad en los ejemplos que aparecen a continuación.

La potencia paralela se da cuando la potencia se distribuye en paralelo en un diagrama de enlaces. A continuación se muestra un ejemplo de potencia paralela.

El cálculo de potencia en paralelo se puede simplificar recordando la relación entre esfuerzo y flujo para las uniones 0 y 1. Para resolverlo, primero se deben escribir todas las ecuaciones para las uniones. En el ejemplo proporcionado, las ecuaciones se muestran a continuación. (Tenga en cuenta el número de enlace que representa la variable esfuerzo/flujo). $${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}}$$

Manipulando estas ecuaciones, se pueden ordenar de tal manera que se pueda encontrar un conjunto equivalente de uniones 0 y 1 para describir la potencia en paralelo.

Por ejemplo, porque${\textstyle e_{3}=e_{6}}$y${\textstyle e_{2}=e_{7}}$Se pueden reemplazar las variables en la ecuación.${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$Resultando en${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$y desde${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$, ahora sabemos que${\displaystyle e_{1}=e_{8}}$Esta relación de dos variables de esfuerzo iguales puede explicarse mediante una unión 0. Manipulando otras ecuaciones se puede encontrar que${\displaystyle f_{4}=f_{5}}$que describe la relación de una unión 1. Una vez determinadas las relaciones, se puede redibujar la sección de potencia en paralelo con las nuevas uniones. El resultado del ejemplo se muestra a continuación.

Una vez completado el grafo de enlaces, se puede utilizar para generar las ecuaciones de representación en el espacio de estados del sistema. La representación en el espacio de estados es especialmente potente, ya que permite resolver sistemas diferenciales complejos de múltiples órdenes como un sistema de ecuaciones de primer orden. La forma general de la ecuación de estado es: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$ dónde${\textstyle \mathbf {x} (t)}$es una matriz columna de las variables de estado , o las incógnitas del sistema.${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$es la derivada temporal de las variables de estado.${\textstyle \mathbf {u} (t)}$es una matriz columna de las entradas del sistema. Y${\textstyle \mathbf {A} }$y${\textstyle \mathbf {B} }$son matrices de constantes basadas en el sistema. Las variables de estado de un sistema son${\textstyle q(t)}$y${\textstyle p(t)}$valores para cada enlace C e I sin conflicto causal. Cada enlace I obtiene un${\textstyle p(t)}$mientras que cada enlace C obtiene un${\textstyle q(t)}$.

Por ejemplo, si se tiene el siguiente gráfico de enlaces

uno tendría lo siguiente${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$,${\textstyle \mathbf {x} (t)}$, y${\textstyle \mathbf {u} (t)}$matrices:

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

Las matrices de${\textstyle \mathbf {A} }$y${\textstyle \mathbf {B} }$Se resuelven determinando la relación entre las variables de estado y sus respectivos elementos, como se describió en el tetraedro de estados. El primer paso para resolver las ecuaciones de estado es enumerar todas las ecuaciones que rigen el diagrama de enlaces. La tabla a continuación muestra la relación entre los enlaces y sus ecuaciones correspondientes.

"♦" denota causalidad preferida.

Para el ejemplo proporcionado,

Las ecuaciones que rigen el sistema son las siguientes.

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

Estas ecuaciones se pueden manipular para obtener las ecuaciones de estado. Para este ejemplo, se intenta encontrar ecuaciones que relacionen${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$y${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$en términos de${\textstyle p_{3}(t)}$,${\textstyle q_{6}(t)}$, y${\textstyle e_{1}(t)}$.

Para empezar, conviene recordar del tetraedro de estados que${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$Partiendo de la ecuación 2, se puede reorganizar de manera que${\displaystyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$.${\displaystyle e_{2}}$puede sustituirse por la ecuación 4, mientras que en la ecuación 4,${\displaystyle f_{2}}$puede ser reemplazado por${\displaystyle f_{3}}$debido a la ecuación 3, que luego puede ser reemplazada por la ecuación 5.${\displaystyle e_{4}}$Asimismo, puede reemplazarse utilizando la ecuación 7, en la que${\displaystyle e_{5}}$puede ser reemplazado por${\displaystyle e_{6}}$que luego se puede reemplazar con la ecuación 10. Después de estas sustituciones se obtiene la primera ecuación de estado que se muestra a continuación.

$${\displaystyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)}$$

La segunda ecuación de estado también puede resolverse, recordando que${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$La segunda ecuación de estado se muestra a continuación.

$${\displaystyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)}$$

Ambas ecuaciones pueden reordenarse en forma matricial. El resultado se muestra a continuación.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

En este punto, las ecuaciones pueden tratarse como cualquier otro problema de representación en el espacio de estados .