Teorema de Bonnet

En mecánica clásica , el teorema de Bonnet establece que si n campos de fuerza diferentes producen cada uno la misma órbita geométrica (por ejemplo, una elipse de dimensiones dadas) aunque con diferentes velocidades v ₁ , v ₂ ,..., v _n en un punto dado P , entonces se seguirá la misma órbita si la velocidad en el punto P es igual a

${\displaystyle v_{\mathrm {combinado} }={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$

Este teorema fue derivado por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1817, ^{[ 1 ]} pero lleva el nombre de Pierre Ossian Bonnet .

La forma de una órbita está determinada únicamente por las fuerzas centrípetas en cada punto de la órbita, que son las fuerzas que actúan perpendicularmente a la órbita. Por el contrario, las fuerzas a lo largo de la órbita solo modifican la rapidez, pero no la dirección, de la velocidad .

Sea R el radio de curvatura instantáneo en un punto P de la órbita . Para el k ^-ésimo campo de fuerza que produce esa órbita, la fuerza normal a la órbita F _k debe proporcionar la fuerza centrípeta.

${\displaystyle F_{k}={\frac {m}{R}}v_{k}^{2}}$

Sumando todas estas fuerzas se obtiene la ecuación

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}={\frac {m}{R}}\sum _{k=1}^{n}v_{k}^{2}}$

Por lo tanto, el campo de fuerza combinado produce la misma órbita si la velocidad en un punto P se establece igual a

${\displaystyle v_{\mathrm {combinado} }={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$