Liber Abaci

El Liber Abaci o Liber Abbaci ^{[ 1 ]} ( en latín , «El Libro del Cálculo») fue una obra latina sobre aritmética escrita en 1202 por Leonardo de Pisa, conocido póstumamente como Fibonacci . Es famoso principalmente por introducir la notación posicional de base 10 y los símbolos conocidos como números arábigos en Europa.

El Liber Abaci fue uno de los primeros libros occidentales en describir el sistema de numeración indoarábigo y en utilizar símbolos similares a los " números arábigos " modernos. Al abordar las aplicaciones tanto de comerciantes como de matemáticos, promovió la superioridad del sistema y el uso de estos glifos. ^{[ 2 ]}

Aunque el título del libro a veces se traduce como "El Libro del Ábaco", Sigler (2002) señala que la palabra en el título no se refiere al ábaco como un dispositivo de cálculo. Más bien, la palabra "ábaco" se usaba en ese momento para referirse al cálculo en cualquier forma; la grafía "abbacus" con dos "b" se usaba, y todavía se usa en Italia, para referirse al cálculo usando números indoarábigos. ^{[ 3 ]} El libro describe métodos para hacer cálculos sin la ayuda de un ábaco, y como confirma Ore (1948) , durante siglos después de su publicación, los algorismistas (seguidores del estilo de cálculo demostrado en Liber Abaci ) permanecieron en conflicto con los abacistas (tradicionalistas que continuaron usando el ábaco junto con los números romanos). Carl Boyer destaca en su Historia de las Matemáticas que, si bien " Liber abaci ... no trata sobre el ábaco" propiamente dicho , no obstante "...es un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos en el que se aboga firmemente por el uso de los numerales indoarábigos". ^{[ 4 ]}

La primera sección introduce el sistema de numeración indoarábigo, incluyendo su aritmética y métodos para convertir entre diferentes sistemas de representación. ^{[ 5 ]} Esta sección también incluye la primera descripción conocida de la división por tanteo para comprobar si un número es compuesto y, en caso afirmativo, factorizarlo . ^{[ 6 ]}

La segunda sección presenta ejemplos del comercio, como conversiones de moneda y medidas, y cálculos de ganancias e intereses . ^{[ 7 ]}

La tercera sección analiza varios problemas matemáticos; por ejemplo, incluye el teorema chino del resto , los números perfectos y los primos de Mersenne , así como fórmulas para series aritméticas y para números piramidales cuadrados . Otro ejemplo en este capítulo trata sobre el crecimiento de una población de conejos, cuya solución requiere generar una secuencia numérica. ^{[ 8 ]} Si bien la secuencia de Fibonacci resultante data de mucho antes de Leonardo, ^{[ 9 ]} su inclusión en su libro es la razón por la que la secuencia lleva su nombre hoy en día.

La cuarta sección deriva aproximaciones, tanto numéricas como geométricas, de números irracionales como las raíces cuadradas. ^{[ 10 ]}

El libro también incluye demostraciones en geometría euclidiana . ^{[ 11 ]} El método de Fibonacci para resolver ecuaciones algebraicas muestra la influencia del matemático egipcio de principios del siglo X, Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam . ^{[ 12 ]}

En Liber Abaci , la notación de Fibonacci para los números racionales tiene una forma intermedia entre las fracciones egipcias comúnmente utilizadas hasta ese momento y las fracciones vulgares que todavía se usan hoy en día. ^{[ 13 ]} Se diferencia de la notación de fracciones moderna en tres aspectos clave:

1. La notación moderna generalmente escribe una fracción a la derecha del número entero al que se le suma, por ejemplo${\displaystyle 2\,{\tfrac {1}{3}}}$para 7/3. Fibonacci en cambio escribiría la misma fracción a la izquierda, es decir,${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,2}$.
2. Fibonacci utilizó una notación de fracción compuesta en la que una secuencia de numeradores y denominadores compartían la misma barra de fracción; cada uno de estos términos representaba una fracción adicional del numerador dado dividida por el producto de todos los denominadores que se encontraban debajo y a la derecha de él. Es decir,${\displaystyle {\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}}$, y${\displaystyle {\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}}$La notación se leía de derecha a izquierda. Por ejemplo, 29/30 podría escribirse como${\displaystyle {\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}}$, representando el valor${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}}$Esto puede considerarse una forma de notación de base mixta y era muy conveniente para trabajar con sistemas tradicionales de pesos, medidas y moneda. Por ejemplo, para unidades de longitud, un pie es 1/3 de yarda y una pulgada es 1/12 de pie, por lo que una cantidad de 5 yardas, 2 pies y${\displaystyle 7{\tfrac {3}{4}}}$Las pulgadas podrían representarse como una fracción compuesta:${\displaystyle {\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5}$yardas. Sin embargo, las notaciones típicas para medidas tradicionales, si bien se basan de manera similar en bases mixtas, no escriben los denominadores explícitamente; los denominadores explícitos en la notación de Fibonacci le permiten usar diferentes bases para diferentes problemas cuando le conviene. Sigler también señala un caso en el que Fibonacci usa fracciones compuestas en las que todos los denominadores son 10, prefigurando la notación decimal moderna para fracciones. ^{[ 14 ]}
3. Fibonacci a veces escribía varias fracciones una al lado de la otra, representando una suma de las fracciones dadas. Por ejemplo, 1/3+1/4 = 7/12, por lo que una notación como${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2}$representaría el número que ahora se escribiría más comúnmente como el número mixto.${\displaystyle 2\,{\tfrac {7}{12}}}$o simplemente la fracción impropia${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$Esta notación se distingue de las secuencias de numeradores y denominadores que comparten una barra de fracción por la interrupción visible en dicha barra. Si todos los numeradores son 1 en una fracción escrita de esta forma, y ​​todos los denominadores son diferentes entre sí, el resultado es una representación fraccionaria egipcia del número. Esta notación también se combinaba a veces con la notación de fracciones compuestas: dos fracciones compuestas escritas una al lado de la otra representaban la suma de las fracciones.

La complejidad de esta notación permite escribir números de muchas maneras diferentes, y Fibonacci describió varios métodos para convertir de un estilo de representación a otro. En particular, el capítulo II.7 contiene una lista de métodos para convertir una fracción impropia a una fracción egipcia, incluido el algoritmo voraz para fracciones egipcias , también conocido como la expansión de Fibonacci-Sylvester.

En el Liber Abaci , Fibonacci escribió lo siguiente, introduciendo el Modus Indorum afirmativo (el método de los indios), conocido hoy como sistema de numeración indoarábigo o notación posicional de base 10. También introdujo dígitos que se parecían mucho a los numerales arábigos modernos .

Como mi padre era funcionario público, lejos de nuestra tierra natal, en la aduana de Bugia , establecida para los mercaderes pisanos que se reunían allí con frecuencia, me hizo traer en mi juventud, buscando un futuro útil y próspero para mí. Quería que estudiara matemáticas durante algunos días. Allí recibí una instrucción maravillosa en el arte de las nueve figuras indias, cuya introducción y conocimiento me complacieron enormemente, y aprendí de todos los expertos en la materia, de Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, y de sus diversos métodos. Posteriormente viajé con frecuencia a estos lugares de negocios para profundizar mis estudios y aprender de los debates que se celebraban allí. Sin embargo, en general, el algoritmo e incluso los arcos pitagóricos me parecían casi un error comparados con el método indio. Por lo tanto, adoptando rigurosamente el método indio y dedicándome a su estudio, añadiendo algunos conocimientos propios y otros más provenientes del sutil arte geométrico euclidiano, y aplicando a este libro todo lo que pude percibir, trabajé para organizarlo en quince capítulos distintos, demostrando casi todo lo que incluí, de modo que, perfeccionado este método por encima de los demás, esta ciencia se imparta a los interesados, y sobre todo al pueblo italiano, que hasta ahora carece de un mínimo de conocimiento. Si, por casualidad, omití algo más o menos apropiado o necesario, les ruego su comprensión, pues nadie está exento de errores y, en todo, es sumamente prudente. ^{[ 15 ]}

Las nueve cifras indias son: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Con estas nueve cifras, y con el signo 0 que los árabes llaman zefir se escribe cualquier número... ^{[ 16 ]}

En otras palabras, abogó por el uso de los dígitos del 0 al 9 y del valor posicional . Hasta entonces, Europa utilizaba los números romanos, lo que hacía prácticamente imposibles las matemáticas modernas. Por lo tanto, el libro contribuyó de manera importante a la difusión de los números decimales. Sin embargo, como escribe Ore, la difusión del sistema indoarábigo fue «lenta y prolongada», tardando muchos siglos más en extenderse ampliamente, y no se completó hasta finales del siglo XVI, acelerándose drásticamente solo en el siglo XVI con la llegada de la imprenta. ^{[ 17 ]}

La primera aparición del manuscrito fue en 1202. No se conocen copias de esta versión. Una versión revisada del Liber Abaci, dedicada a Michael Scot , apareció en 1228. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Existen al menos diecinueve manuscritos que contienen partes de este texto. ^{[ 20 ]} Hay tres versiones completas de este manuscrito de los siglos XIII y XIV. ^{[ 21 ]} Se conocen otras nueve copias incompletas entre los siglos XIII y XV, y puede que haya más aún no identificadas. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

No se conocían versiones impresas del Liber Abaci hasta la edición de Boncompagni de 1857. La primera traducción completa al inglés fue el texto de Sigler, publicado en 2002. ^{[ 20 ]}

• El Libro de los Cuadrados

• Pisano, Leonardo (1202), Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij [ Manuscrito ] , Museo Galileo.