Matriz booleana

En matemáticas , una matriz booleana es una matriz con entradas de un álgebra booleana . Cuando se utiliza el álgebra booleana de dos elementos , la matriz booleana se denomina matriz lógica . (En algunos contextos, sobre todo en informática , el término "matriz booleana" implica esta restricción).

Sea U un álgebra booleana no trivial (es decir, con al menos dos elementos). La intersección, la unión, la complementación y la contención de elementos se expresan en U. Sea V el conjunto de matrices n × n cuyos elementos pertenecen a U. La complementación de una matriz de este tipo se obtiene complementando cada elemento. La intersección o unión de dos matrices de este tipo se obtiene aplicando la operación a los elementos de cada par de elementos para obtener la intersección o unión de matrices correspondiente. Una matriz está contenida en otra si cada elemento de la primera está contenido en el elemento correspondiente de la segunda.

El producto de dos matrices booleanas se expresa de la siguiente manera: $${\displaystyle (AB)_{ij}=\bigcup _{k=1}^{n}(A_{ik}\cap B_{kj}).}$$

Según un autor, "Las matrices sobre un álgebra booleana arbitraria β satisfacen la mayoría de las propiedades sobre β ₀ = {0, 1}. La razón es que cualquier álgebra booleana es un subálgebra booleana de${\displaystyle \beta _ {0}^{S}}$para algún conjunto S , y tenemos un isomorfismo de matrices n × n sobre${\displaystyle \beta _{0}^{S}\ {\text{a}}\ \beta _{n}^{S}.}$" ^{[ 1 ]}

• R. Duncan Luce (1952) "Una nota sobre matrices booleanas", Actas de la Sociedad Matemática Americana 3 : 382–8, enlace Jstor MR 0050559 
• Jacques Riguet (1954) "Sur l'extension du calcul des Relations binaires au calcul des matrices à eléments dans une algèbre de Boole", Comptes Rendus 238 : 2382–2385

• Stan Gudder y Frédéric Latrémolière (2009) "Espacios de producto interno booleano y matrices booleanas", Álgebra lineal y sus aplicaciones 431 : 274–96 MR 2522576 
• DE Rutherford (1963) "Inversas de matrices booleanas", Actas de la Asociación Matemática de Glasgow 6 : 49–63 MR 0148585 
• TS Blythe (1967) "Autovectores de matrices booleanas", Actas de la Real Sociedad de Edimburgo 67 : 196–204 MR 0210727 
• Steven Kirkland y Norman J. Pullman (1993) "Operadores lineales que preservan invariantes de matrices booleanas no binarias", Álgebra lineal y multilineal 33 : 295–300 doi : 10.1080/03081089308818200 MR 1334678 
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