Red booleana

Una red booleana consta de un conjunto discreto de variables booleanas, cada una con una función booleana (posiblemente diferente para cada variable) asignada. Esta función toma como entrada un subconjunto de dichas variables y produce como salida un valor que determina el estado de la variable a la que está asignada. Este conjunto de funciones determina, en efecto, la topología (conectividad) del conjunto de variables, que se convierten en nodos de la red . Generalmente, la dinámica del sistema se considera como una serie temporal discreta , donde el estado de toda la red en el instante t + 1 se determina evaluando la función de cada variable sobre el estado de la red en el instante t . Esto puede realizarse de forma síncrona o asíncrona . ^{[ 1 ]}

Las redes booleanas se han utilizado en biología para modelar redes reguladoras. Aunque las redes booleanas son una simplificación burda de la realidad genética, donde los genes no son simples interruptores binarios, existen varios casos en los que transmiten correctamente el patrón correcto de genes expresados ​​y reprimidos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El modelo (síncrono) aparentemente sencillo desde el punto de vista matemático no se comprendió completamente hasta mediados de la década de 2000. ^{[ 4 ]}

Una red booleana es un tipo particular de sistema dinámico secuencial , donde el tiempo y los estados son discretos, es decir, tanto el conjunto de variables como el conjunto de estados en la serie temporal tienen una biyección sobre una serie de números enteros.

Una red booleana aleatoria  (RBN) es aquella que se selecciona al azar del conjunto de todas las redes booleanas posibles de un tamaño determinado, N. A continuación, se puede estudiar estadísticamente cómo las propiedades esperadas de dichas redes dependen de diversas propiedades estadísticas del conjunto de todas las redes posibles. Por ejemplo, se puede estudiar cómo cambia el comportamiento de la RBN al variar la conectividad promedio.

Las primeras redes booleanas fueron propuestas por Stuart A. Kauffman en 1969, como modelos aleatorios de redes reguladoras genéticas . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En la teoría de sistemas dinámicos, la estructura y la longitud de los atractores de una red corresponden a la fase dinámica de la red. La estabilidad de las redes booleanas depende de las conexiones de sus nodos . Una red booleana puede exhibir un comportamiento estable, crítico o caótico . Este fenómeno está regido por un valor crítico del número promedio de conexiones de los nodos (${\displaystyle K_{c}}$), y se puede caracterizar mediante la distancia de Hamming como medida de distancia. En el régimen inestable, la distancia entre dos estados inicialmente cercanos crece exponencialmente en promedio con el tiempo, mientras que en el régimen estable disminuye exponencialmente. En este caso, con "estados inicialmente cercanos" se quiere decir que la distancia de Hamming es pequeña en comparación con el número de nodos (${\displaystyle N}$) en la red.

Para el modelo NK ^{[ 15 ]} la red es estable si${\displaystyle K<K_{c}}$, crítico si${\displaystyle K=K_{c}}$y inestable si${\displaystyle K>K_{c}}$.

El estado de un nodo determinado${\displaystyle n_{i}}$se actualiza de acuerdo con su tabla de verdad , cuyos resultados se generan aleatoriamente.${\displaystyle p_{i}}$denota la probabilidad de asignar una salida de apagado a una serie dada de señales de entrada.

Si${\displaystyle p_{i}=p=const.}$Para cada nodo, la transición entre el rango estable y el caótico depende de${\displaystyle p}$Según Bernard Derrida e Yves Pomeau ^{[ 16 ]} , el valor crítico del número promedio de conexiones es${\displaystyle K_{c}=1/[2p(1-p)]}$.

Si${\displaystyle K}$no es constante, y no hay correlación entre los grados de entrada y los grados de salida, las condiciones de estabilidad están determinadas por${\displaystyle \langle K^{en}\rangle }$^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} La red es estable si${\displaystyle \langle K^{in}\rangle <K_ {c}}$, crítico si ${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =K_{c}}$y inestable si${\displaystyle \langle K^{in}\rangle >K_{c}}$.

Las condiciones de estabilidad son las mismas en el caso de redes con topología libre de escala donde la distribución de grados de entrada y salida es una distribución de ley de potencias:${\displaystyle P(K)\propto K^{-\gamma }}$, y${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =\langle K^{out}\rangle }$, puesto que cada enlace saliente de un nodo es un enlace entrante a otro. ^{[ 20 ]}

La sensibilidad muestra la probabilidad de que la salida de la función booleana de un nodo dado cambie si su entrada cambia. Para redes booleanas aleatorias, ${\displaystyle q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})}$En el caso general, la estabilidad de la red está regida por el mayor valor propio .${\displaystyle \lambda _{Q}}$de matriz${\displaystyle Q}$, dónde${\displaystyle Q_{ij}=q_{i}A_{ij}}$, y ${\displaystyle A}$es la matriz de adyacencia de la red. ^{[ 21 ]} La red es estable si${\displaystyle \lambda _{Q}<1}$, crítico si${\displaystyle \lambda _{Q}=1}$, inestable si${\displaystyle \lambda _{Q}>1}$.

• Modelo NK

• Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). * Redes de Kauffman: Análisis y aplicaciones , en "Actas de la Conferencia Internacional sobre Diseño Asistido por Computadora", páginas 479-484.

• Análisis de Modelos Algebraicos Dinámicos (ADAM) v1.1
• bioasp/bonesis : Síntesis de redes booleanas más permisivas a partir de la arquitectura de la red y las propiedades dinámicas.
• CoLoMoTo (Consorcio para Modelos Lógicos y Herramientas)
• DDLab
• Simulador de redes booleanas de NetBuilder
• Simulador de red booleana de código abierto
• JavaScript Kauffman Network
• Redes booleanas probabilísticas (PBN)
• RBNLab
• Una herramienta basada en SAT para calcular atractores en redes booleanas.