El lema de Borel

En matemáticas , el lema de Borel , que recibe su nombre de Émile Borel , es un resultado importante que se utiliza en la teoría de las expansiones asintóticas y las ecuaciones diferenciales parciales .

Supongamos que U es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ , y supongamos que f ₀ , f ₁ , ... es una sucesión de funciones suaves en U .

Si I es cualquier intervalo abierto en R que contiene 0 (posiblemente I = R ), entonces existe una función suave F ( t , x ) definida en I × U , tal que

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}\right|_{(0,x)}=f_{k}(x),}$

para k ≥ 0 y x en U .

Las demostraciones del lema de Borel se pueden encontrar en muchos libros de texto sobre análisis, incluidos Golubitsky y Guillemin (1974) y Hörmander (1990) , de donde se toma la demostración que aparece a continuación.

Nótese que basta con demostrar el resultado para un pequeño intervalo I = (− ε , ε ), ya que si ψ ( t ) es una función suave con soporte compacto en (− ε , ε ) idénticamente igual a 1 cerca de 0, entonces ψ ( t ) ⋅ F ( t , x ) da una solución en R × U . De manera similar, usando una partición suave de la unidad en R ⁿ subordinada a un recubrimiento por bolas abiertas con centros en δ ⋅ Z ⁿ , se puede suponer que todas las f _m tienen soporte compacto en alguna bola cerrada fija C . Para cada m , sea

${\displaystyle F_{m}(t,x)={t^{m} \over m!}\cdot \psi \left({t \over \varepsilon _{m}}\right)\cdot f_{m}(x),}$

donde ε _m se elige suficientemente pequeño que

${\displaystyle \|\partial ^{\alpha }F_{m}\|_{\infty }\leq 2^{-m}}$

para | α | < m . Estas estimaciones implican que cada suma

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}}$

es uniformemente convergente y por lo tanto que

${\displaystyle F=\sum _{m\geq 0}F_{m}}$

es una función suave con

${\displaystyle \partial ^{\alpha }F=\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}.}$

Por construcción

${\displaystyle \partial _{t}^{m}F(t,x)|_{t=0}=f_{m}(x).}$

Nota: Se puede aplicar exactamente la misma construcción, sin el espacio auxiliar U , para producir una función suave en el intervalo I para la cual las derivadas en 0 forman una secuencia arbitraria.

• Función suave no analítica §  Aplicación a la serie de Taylor

• Erdélyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Publicaciones de Dover, págs. 22-25 , ISBN  0486603180{{citation}}: CS1 maint: errores de ISBN ignorados ( enlace )
• Golubitsky, M.; Guillemin , V. (1974), Aplicaciones estables y sus singularidades , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  14, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90072-1
• Hörmander, Lars (1990), Análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2.ª  ed.), Springer-Verlag, p.  16, ISBN 3-540-52343-X

Este artículo incorpora material del lema de Borel en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .