Juego de Borel

En matemáticas , los conjuntos de Borel de un espacio topológico son una clase particular de subconjuntos "bien comportados" de dicho espacio. Por ejemplo, mientras que un subconjunto arbitrario de los números reales podría no ser medible según Lebesgue , todo conjunto de Borel de los reales es universalmente medible . Los conjuntos que son de Borel pueden especificarse de diversas maneras equivalentes. Los conjuntos de Borel reciben su nombre de Émile Borel .

La definición más habitual pasa por la noción de σ-álgebra , que es una colección de subconjuntos de un espacio topológico.${\displaystyle X}$que contiene tanto el conjunto vacío como el conjunto completo${\displaystyle X}$y es cerrada bajo la unión contable y el complemento.

Entonces podemos definir el σ -álgebra de Borel sobre${\displaystyle X}$ser el σ -álgebra más pequeño que contiene todos los conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$. ^{[ a ]} ​​Un subconjunto de Borel de${\displaystyle X}$es entonces simplemente un elemento de esta σ -álgebra.

Los conjuntos de Borel son importantes en la teoría de la medida , ya que cualquier medida definida sobre los conjuntos abiertos o cerrados de un espacio debe estar definida también sobre todos los conjuntos de Borel de dicho espacio. Cualquier medida definida sobre los conjuntos de Borel se denomina medida de Borel . Los conjuntos de Borel y la jerarquía de Borel asociada también desempeñan un papel fundamental en la teoría descriptiva de conjuntos .

En algunos contextos, los conjuntos de Borel se definen como generados por los conjuntos compactos del espacio topológico, en lugar de los conjuntos abiertos. Ambas definiciones son equivalentes para muchos espacios bien comportados , incluidos todos los espacios σ-compactos de Hausdorff , pero pueden diferir en espacios más problemáticos .

En el caso de que${\displaystyle X}$es un espacio métrico , el álgebra de Borel en el primer sentido puede describirse generativamente de la siguiente manera.

Para una colección${\displaystyle T}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$(es decir, para cualquier subconjunto del conjunto potencia)${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle (X)}$de${\displaystyle X}$), dejar

• ${\displaystyle T_{\sigma }}$sean todas las uniones contables de elementos de${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle T_{\delta }}$sean todas las intersecciones contables de elementos de${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Ahora definamos por inducción transfinita una secuencia${\displaystyle G^{m}}$, dónde${\displaystyle m}$es un número ordinal , de la siguiente manera:

• Para el caso base de la definición, sea${\displaystyle G^{0}}$ser la colección de subconjuntos abiertos de${\displaystyle X}$.
• Si${\displaystyle i}$no es un ordinal límite , entonces${\displaystyle i}$tiene un ordinal inmediatamente precedente${\displaystyle i-1}$. Dejar$${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• Si${\displaystyle i}$es un ordinal límite, conjunto$${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

La afirmación es que el álgebra de Borel es${\displaystyle G^{\omega _ {1}}}$, dónde${\displaystyle {\omega _{1}}}$es el primer número ordinal no numerable . Es decir, el álgebra de Borel se puede generar a partir de la clase de conjuntos abiertos iterando la operación. $${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }}$$ al primer ordinal incontable.

Para demostrar esta afirmación, cualquier conjunto abierto en un espacio métrico es la unión de una sucesión creciente de conjuntos cerrados. En particular, la complementación de conjuntos realiza mapas${\displaystyle G^{m}}$en sí mismo para cualquier límite ordinal${\displaystyle m}$; además, si${\displaystyle m}$es un ordinal límite no contable,${\displaystyle G^{m}}$está cerrado bajo uniones contables.

Para cada conjunto de Borel${\displaystyle B}$, hay algún ordinal contable${\displaystyle \alpha _{B}}$de tal manera que${\displaystyle B}$se puede obtener iterando la operación sobre${\displaystyle \alpha _{B}}$Sin embargo, como${\displaystyle B}$varía en todos los conjuntos de Borel,${\displaystyle \alpha _{B}}$variará en todos los ordinales contables, y por lo tanto el primer ordinal en el que se obtienen todos los conjuntos de Borel es${\displaystyle \omega _{1}}$, el primer ordinal incontable.

La secuencia de conjuntos resultante se denomina jerarquía de Borel .

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio topológico. El espacio de Borel asociado a${\displaystyle X}$es el par${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es el σ-álgebra de conjuntos de Borel de${\displaystyle X}$.

George Mackey definió un espacio de Borel de forma algo diferente, escribiendo que es "un conjunto junto con un σ-álgebra distinguida de subconjuntos llamados sus conjuntos de Borel". ^{[ 1 ]} Sin embargo, en el uso moderno se denomina a la subálgebra distinguida conjuntos medibles y a dichos espacios espacios medibles . La razón de esta distinción es que los conjuntos de Borel son el σ-álgebra generada por conjuntos abiertos (de un espacio topológico), mientras que la definición de Mackey se refiere a un conjunto dotado de un σ-álgebra arbitraria . Existen espacios medibles que no son espacios de Borel, para cualquier elección de topología en el espacio subyacente. ^{[ 2 ]}

Los espacios medibles forman una categoría en la que los morfismos son funciones medibles entre espacios medibles. Una función${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$es medible si se obtienen conjuntos medibles, es decir, para todos los conjuntos medibles.${\displaystyle B}$en${\displaystyle Y}$, el conjunto${\displaystyle f^{-1}(B)}$es medible en${\displaystyle X}$.

Teorema . Sea${\displaystyle X}$sea ​​un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle X}$que define la topología de${\displaystyle X}$y eso hace${\displaystyle X}$un espacio métrico separable completo . Entonces${\displaystyle X}$como un espacio de Borel es isomorfo a uno de

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$,
2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$,
3. un espacio finito.

(Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).

Considerados como espacios de Borel, la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$, la unión de${\displaystyle \mathbb {R} }$con un conjunto contable y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$son isomorfos.

Un espacio de Borel estándar es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco . Un espacio de Borel estándar se caracteriza, salvo isomorfismo, por su cardinalidad, ^{[ 3 ]} y cualquier espacio de Borel estándar no numerable tiene la cardinalidad del continuo.

Para subconjuntos de espacios polacos, los conjuntos de Borel se caracterizan como aquellos conjuntos que son las regiones de aplicaciones inyectivas continuas definidas en espacios polacos. Sin embargo, cabe señalar que la región de una aplicación no inyectiva continua puede no ser un conjunto de Borel. Véase conjunto analítico .

Toda medida de probabilidad en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

A continuación se describe un ejemplo de un subconjunto de los números reales que no es Borel, debido a Lusin , ^{[ 4 ]} . En cambio, no se puede mostrar un ejemplo de un conjunto no mensurable , aunque la existencia de tal conjunto está implícita, por ejemplo, en el axioma de elección .

Cada número irracional tiene una representación única mediante una fracción continua simple infinita.

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

dónde${\displaystyle a_{0}}$es algún número entero y todos los demás números${\displaystyle a_{k}}$son enteros positivos . Sea${\displaystyle A}$sea ​​el conjunto de todos los números irracionales que corresponden a secuencias${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$con la siguiente propiedad: existe una subsecuencia infinita${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$de tal manera que cada elemento sea divisor del siguiente elemento. Este conjunto${\displaystyle A}$No es un conjunto de Borel. Sin embargo, es analítico (todos los conjuntos de Borel también lo son) y completo en la clase de conjuntos analíticos. ^{[ 5 ]}

Es importante señalar que, si bien los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) son suficientes para formalizar la construcción de${\displaystyle A}$, no se puede probar solo en ZF que${\displaystyle A}$no es Borel. De hecho, es coherente con ZF que${\displaystyle \mathbb {R} }$es una unión numerable de conjuntos numerables, ^{[ 6 ]} de modo que cualquier subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$Es un juego de Borel.

Otro conjunto que no es de Borel es una imagen inversa.${\displaystyle f^{-1}[0]}$de una función de paridad infinita${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$Sin embargo, esto es una prueba de existencia (a través del axioma de elección), no un ejemplo explícito.

Según Paul Halmos , ^{[ 7 ]} un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se llama conjunto de Borel si pertenece al σ-anillo más pequeño que contiene todos los conjuntos compactos.

Norberg y Vervaat ^{[ 8 ]} redefinen el álgebra de Borel de un espacio topológico${\displaystyle X}$como el${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por sus subconjuntos abiertos y sus subconjuntos saturados compactos . Esta definición es muy adecuada para aplicaciones en el caso donde${\displaystyle X}$no es Hausdorff. Coincide con la definición habitual si${\displaystyle X}$es segundo numerable o si cada subconjunto saturado compacto es cerrado (lo cual es el caso en particular si${\displaystyle X}$es Hausdorff).

• Jerarquía de Borel – Jerarquía de la lógica matemática 
• isomorfismo de Borel
• Conjunto Baire
• σ-álgebra cilíndrica
• Teoría descriptiva de conjuntos : subcampo de la lógica matemática. 
• Espacio polaco : concepto en topología 

• William Arveson , Una invitación a las C*-álgebras , Springer-Verlag, 1981. (Véase el capítulo 3 para una excelente exposición de la topología polaca ).
• Richard Dudley , Análisis real y probabilidad . Wadsworth, Brooks and Cole, 1989.
• Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . D. van Nostrand Co. Véase especialmente el apartado 51, "Juegos Borel y juegos Baire".
• Halsey Royden , Análisis real , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Teoría clásica descriptiva de conjuntos , Springer-Verlag, 1995 (Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156)

• "Conjunto de Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal de conjuntos de Borel en el sistema de Mizar y la lista de teoremas archivados el 1 de junio de 2020 en la Wayback Machine que se han demostrado formalmente sobre ellos.
• Weisstein, Eric W. "Conjunto de Borel" . MathWorld .