Distribución de Boel

La distribución de Borel es una distribución de probabilidad discreta que surge en contextos como los procesos de ramificación y la teoría de colas . Recibe su nombre del matemático francés Émile Borel .

Si el número de descendientes de un organismo sigue una distribución de Poisson , y si el número promedio de descendientes de cada organismo no supera  1, entonces los descendientes de cada individuo se extinguirán. El número de descendientes que un individuo tendrá finalmente en esa situación es una variable aleatoria que sigue una distribución de Borel.

Se dice que una variable aleatoria discreta X  tiene una distribución de Borel ^{[ 1 ] [ 2 ]} con parámetro μ  ∈  [0,1] si la función de masa de probabilidad de X está dada por

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

para n  =  1,  2,  3  ....

Si un proceso de ramificación de Galton-Watson tiene una distribución de descendencia común de Poisson con media μ , entonces el número total de individuos en el proceso de ramificación tiene una distribución de Borel con parámetro μ . 

Sea X  el número total de individuos en un proceso de ramificación de Galton-Watson. Entonces, una correspondencia entre el tamaño total del proceso de ramificación y un tiempo de llegada para una caminata aleatoria asociada ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} da

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

donde S _n  = Y ₁ + … + Y _n , y Y ₁ … Y _n son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas cuya distribución común es la distribución de la descendencia del proceso de ramificación. En el caso de que esta distribución común sea de Poisson con media μ , la variable aleatoria S _n tiene una distribución de Poisson con media μn , lo que conduce a la función de masa de la distribución de Borel dada anteriormente.       

Dado que la m -ésima generación del proceso de ramificación tiene un tamaño medio μ ^{m  −  1} , la media de X  es

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

En una cola M/D/1 con tasa de llegada μ y tiempo de servicio común 1, la distribución de un período típico de ocupación de la cola es de Borel con parámetro μ . ^{[ 6 ]}

Si P _μ ( n ) es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria de Borel( μ ), entonces la función de masa P ^∗ _μ ( n ) de una muestra sesgada por tamaño de la distribución (es decir, la función de masa proporcional a nP _μ ( n )  ) viene dada por

${\displaystyle P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.}$

Aldous y Pitman ^{[ 7 ]} demuestran que

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .}$

En otras palabras, esto significa que una variable aleatoria de Borel( μ ) tiene la misma distribución que una variable aleatoria de Borel( μU ) sesgada por el tamaño, donde U tiene la distribución uniforme en  [0,1].

Esta relación conduce a varias fórmulas útiles, entre ellas:

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

La distribución de Borel-Tanner generaliza la distribución de Borel. Sea k un entero positivo. Si X ₁ , X ₂ , … X _k son independientes y cada uno tiene una distribución de Borel con parámetro μ , entonces su suma W = X ₁ + X ₂ + … + X _k se dice que tiene una distribución de Borel-Tanner con parámetros μ y k . ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 8 ]} Esto da la distribución del número total de individuos en un proceso de Poisson-Galton-Watson que comienza con k individuos en la primera generación, o del tiempo que tarda en vaciarse una cola M/D/1 que comienza con k trabajos en la cola. El caso k = 1 es simplemente la distribución de Borel anterior.             

Generalizando la correspondencia de paseo aleatorio dada anteriormente para k  =  1, ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

donde S _n tiene una distribución de Poisson con media nμ . Como resultado, la función de masa de probabilidad viene dada por

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}}$

para n  = k , k + 1, ... .      

• Distribución de Borel-Tanner en Mathematica.