Teorema del punto fijo de Borel

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Borel es un teorema del punto fijo en geometría algebraica que generaliza el teorema de Lie-Kolchin . El resultado fue demostrado por Armand Borel ( 1956 ) . 

Si G es un grupo algebraico lineal conexo y resoluble que actúa regularmente sobre una variedad algebraica completa y no vacía V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , entonces existe un punto fijo de G en V.

El teorema de Lie-Kolchin demuestra este resultado bajo la hipótesis más fuerte de que V es una variedad proyectiva .

Una versión más general del teorema se cumple sobre un cuerpo k que no necesariamente es algebraicamente cerrado. Un grupo algebraico resoluble G es escindido sobre k o k-escindido si G admite una serie de composición cuyos factores de composición son isomorfos (sobre k ) al grupo aditivo.${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$o el grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. Si G es un grupo algebraico resoluble k -escindido y conexo que actúa regularmente sobre una variedad completa V que tiene un punto k -racional , entonces existe un punto fijo de G en V. ^{[ 1 ]}

• Borel, Armand (1956). "Grupos linéaires algébriques". Ana. Matemáticas . 2. 64 (1). Anales de Matemáticas: 20– 82. doi : 10.2307/1969949 . JSTOR 1969949 . SEÑOR 0093006 .  

• Borel, Armand (1991) [1969], Grupos algebraicos lineales (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012 

• VP Platonov (2001) [1994], "Teorema del punto fijo de Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press