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La regla de Born es un postulado de la mecánica cuántica que proporciona la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico arroje un resultado determinado. En una aplic...

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La regla de Born es un postulado de la mecánica cuántica que proporciona la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico arroje un resultado determinado. En una aplicación común, establece que la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición dada es proporcional al cuadrado de la amplitud de la función de onda del sistema en esa posición. Fue formulada y publicada por el físico alemán Max Born en julio de 1926. [ 1 ]

Detalles

La regla de Born establece que una observable , medida en un sistema con función de onda normalizada|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }(véase la notación Bra-ket ), corresponde a un operador autoadjuntoA{\displaystyle A}cuyo espectro es discreto si:

  • El resultado medido será uno de los valores propios.λ{\displaystyle \lambda }deA{\displaystyle A}, y
  • la probabilidad de medir un valor propio dadoλi{\displaystyle \lambda _{i}}será igual⟨ψ|PAGi|ψ⟩{\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }, dóndePAGi{\displaystyle P_{i}}es la proyección sobre el espacio propio deA{\displaystyle A}correspondiente aλi{\displaystyle \lambda _{i}}.
(En el caso en que el espacio propio deA{\displaystyle A}correspondiente aλi{\displaystyle \lambda _{i}}es unidimensional y está generado por el vector propio normalizado.|λi⟩{\displaystyle |\lambda _ {i}\rangle},PAGi{\displaystyle P_{i}}es igual a|λi⟩⟨λi|{\displaystyle |\lambda _ {i}\rangle \langle \lambda _ {i}|}, por lo tanto la probabilidad⟨ψ|PAGi|ψ⟩{\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }es igual a⟨ψ|λi⟩⟨λi|ψ⟩{\displaystyle \langle \psi |\lambda _ {i}\rangle \langle \lambda _ {i}|\psi \rangle }Dado que el número complejo⟨λi|ψ⟩{\displaystyle \langle \lambda _ {i}|\psi \rangle }se conoce como la amplitud de probabilidad de que el vector de estado|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }asigna al vector propio|λi⟩{\displaystyle |\lambda _ {i}\rangle}Es común describir la regla de Born diciendo que la probabilidad es igual al cuadrado de la amplitud (en realidad, la amplitud multiplicada por su propio conjugado complejo ). De forma equivalente, la probabilidad se puede escribir como|⟨λi|ψ⟩|2{\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}.)

En el caso donde el espectro deA{\displaystyle A}no es totalmente discreto, el teorema espectral prueba la existencia de una cierta medida con valor de proyección (PVM)Q{\displaystyle Q}, la medida espectral deA{\displaystyle A}. En este caso:

  • la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un conjunto medibleMETRO{\displaystyle M}es dado por⟨ψ|Q(METRO)|ψ⟩{\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }.

Por ejemplo, una sola partícula sin estructura puede describirse mediante una función de onda.ψ{\displaystyle \psi }que depende de las coordenadas de posición(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}y una coordenada de tiempot{\displaystyle t}La regla de Born implica que la función de densidad de probabilidadpag{\displaystyle p}para el resultado de una medición de la posición de la partícula en el tiempot0{\displaystyle t_{0}}es: pag(incógnita,y,z,t0)=|ψ(incógnita,y,z,t0)|2.{\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.} La regla de Born también puede emplearse para calcular probabilidades (para mediciones con conjuntos discretos de resultados) o densidades de probabilidad (para mediciones de valor continuo) para otras magnitudes observables, como el momento, la energía y el momento angular.

En algunas aplicaciones, este tratamiento de la regla de Born se generaliza utilizando medidas con valores de operador positivo (POVM) . Una POVM es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las mediciones de von Neumann y, correspondientemente, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por observables autoadjuntos. En una analogía aproximada, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema mayor (véase purificación del estado cuántico ); análogamente, las POVM son necesarias para describir el efecto sobre un subsistema de una medición proyectiva realizada sobre un sistema mayor. Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden utilizarse en teoría cuántica de campos . [ 2 ] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple de una POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita , una POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas.{Fi}{\displaystyle \{F_{i}\}}en un espacio de HilbertH{\displaystyle {\mathcal {H}}}que suman la matriz identidad ,: [ 3 ] : 90∑i=1norteFi=I.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}

El elemento POVMFi{\displaystyle F_{i}}está asociado con el resultado de la medicióni{\displaystyle i}, de tal manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuánticoρ{\displaystyle \rho }está dado por:

pag(i)=tr⁡(ρFi),{\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}

dóndetr{\displaystyle \operatorname {tr} }es el operador de traza . Esta es la versión POVM de la regla de Born. Cuando el estado cuántico que se está midiendo es un estado puro|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }Esta fórmula se reduce a: pag(i)=tr⁡(|ψ⟩⟨ψ|Fi)=⟨ψ|Fi|ψ⟩.{\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}

La regla de Born, junto con la unitariedad del operador de evolución temporal.mi−iH^t{\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}(o, equivalentemente, el hamiltoniano)H^{\displaystyle {\hat {H}}}(Al ser hermitiana ), esto implica la unitariedad de la teoría: una función de onda que evoluciona en el tiempo mediante un operador unitario permanecerá correctamente normalizada. (En el caso más general, donde se considera la evolución temporal de una matriz de densidad , la normalización adecuada se garantiza al exigir que la evolución temporal sea una aplicación completamente positiva que preserve la traza ).

Historia

La regla de Born fue formulada por Born en un artículo de 1926. [ 4 ] En este artículo, Born resuelve la ecuación de Schrödinger para un problema de dispersión y, inspirado por Albert Einstein y la regla probabilística de Einstein para el efecto fotoeléctrico , [ 5 ] concluye, en una nota al pie, que la regla de Born proporciona la única interpretación posible de la solución. (El cuerpo principal del artículo dice que la amplitud "da la probabilidad" [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], mientras que la nota al pie añadida en la demostración dice que la probabilidad es proporcional al cuadrado de su magnitud). En 1954, junto con Walther Bothe , Born recibió el Premio Nobel de Física por este y otros trabajos. [ 5 ] John von Neumann analizó la aplicación de la teoría espectral a la regla de Born en su libro de 1932. [ 6 ]

Derivación a partir de principios más básicos

El teorema de Gleason demuestra que la regla de Born puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica. Andrew M. Gleason demostró el teorema por primera vez en 1957, [ 7 ] motivado por una pregunta planteada por George W. Mackey . [ 8 ] [ 9 ] Este teorema fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al demostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son inconsistentes con la física cuántica. [ 10 ]

Varios otros investigadores también han intentado derivar la regla de Born a partir de principios más básicos. Se han propuesto varias derivaciones en el contexto de la interpretación de los muchos mundos . Estas incluyen el enfoque de la teoría de la decisión iniciado por David Deutsch [ 11 ] y posteriormente desarrollado por Hilary Greaves [ 12 ] y David Wallace; [ 13 ] y un enfoque de "envariancia" por Wojciech H. Zurek . [ 14 ] Sin embargo, estas demostraciones han sido criticadas por circulares. [ 15 ] En 2018, Charles Sebens y Sean M. Carroll sugirieron un enfoque basado en la incertidumbre de autolocalización ; [ 16 ] este también ha sido criticado. [ 17 ] En 2019, Lluís Masanes, Thomas Galley y Markus Müller propusieron una derivación basada en postulados que incluyen la posibilidad de estimación de estado. [ 18 ] [ 19 ] En 2021, Simon Saunders produjo una derivación de la regla de Born mediante el conteo de ramas. La característica crucial de este enfoque es definir las ramas de manera que todas tengan la misma magnitud o norma 2. Las razones del número de ramas así definidas dan las probabilidades de los diversos resultados de una medición, de acuerdo con la regla de Born. [ 20 ]

También se ha afirmado que la teoría de la onda piloto puede utilizarse para derivar estadísticamente la regla de Born, aunque esto sigue siendo controvertido. [ 21 ]

Dentro de la interpretación QBist de la teoría cuántica, la regla de Born se considera una extensión del principio normativo de coherencia , que garantiza la autoconsistencia de las evaluaciones de probabilidad en todo un conjunto de dichas evaluaciones. Se puede demostrar que un agente que apuesta sobre los resultados de mediciones en un sistema suficientemente similar a la mecánica cuántica, negándose a utilizar la regla de Born al realizar sus apuestas, es vulnerable a un libro holandés . [ 22 ]

Referencias

  1. ↑ Hall, Brian C. (2013). «Teoría cuántica para matemáticos». Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  267. Nueva York, NY: Springer New York. pp. 14–15 , 58. doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN  978-1-4614-7115-8ISSN 0072-5285​​ 
  2. ↑ Peres, Asher ; Terno, Daniel R. (2004). "Información cuántica y teoría de la relatividad". Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93– 123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode : 2004RvMP...76...93P . doi : 10.1103/RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 . 
  3. ↑ Nielsen, Michael A.; Chuang , Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN  978-0-521-63503-5OCLC 634735192​​ 
  4. ^ Nacido, Max (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" [ Sobre la mecánica cuántica de las colisiones ] . Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863– 867. Bibcode : 1926ZPhy...37..863B . doi : 10.1007/BF01397477 . S2CID 119896026 .  Reimpreso como Born, Max (1983). «Sobre la mecánica cuántica de las colisiones». En Wheeler, JA ; Zurek, WH (eds.). Teoría cuántica y medición . Princeton University Press. pp. 52–55 . ISBN  978-0-691-08316-2.
  5. 1 2 Born, Max (11 de diciembre de 1954). "La interpretación estadística de la mecánica cuántica" (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Consultado el 7 de noviembre de 2018. Una vez más, una idea de Einstein me dio la idea principal. Había intentado hacer comprensible la dualidad de partículas —cuantos de luz o fotones— y ondas interpretando el cuadrado de las amplitudes de las ondas ópticas como densidad de probabilidad para la ocurrencia de fotones. Este concepto podría trasladarse inmediatamente a la función psi:||ψ>|{\displaystyle ||\psi >|}El número 2 debería representar la densidad de probabilidad para los electrones (u otras partículas).
  6. ^ Neumann (von), John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ] . Traducido por Beyer, Robert T. Princeton University Press (publicado en 1996). ISBN 978-0-691-02893-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  7. ↑ Gleason, Andrew M. (1957). "Medidas en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert" . Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885– 893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR 0096113 . 
  8. ↑ Mackey, George W. (1957). "Mecánica cuántica y espacio de Hilbert". The American Mathematical Monthly . 64 (8P2): 45– 57. doi : 10.1080/00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 . 
  9. ↑ Chernoff, Paul R. (noviembre de 2009). "Andy Gleason y la mecánica cuántica" (PDF) . Notices of the AMS . 56 (10): 1253–1259 .
  10. ↑ Mermin, N. David (1993-07-01). "Variables ocultas y los dos teoremas de John Bell". Reviews of Modern Physics . 65 (3): 803– 815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode : 1993RvMP...65..803M . doi : 10.1103/RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 . 
  11. ↑ Deutsch, David (8 de agosto de 1999). "Teoría cuántica de la probabilidad y las decisiones" . Proceedings of the Royal Society A. 455 ( 1988): 3129–3137 . arXiv : quant-ph/9906015 . Bibcode : 1999RSPSA.455.3129D . doi : 10.1098/rspa.1999.0443 . S2CID 5217034. Recuperado el 5 de diciembre de 2022 . 
  12. ↑ Greaves, Hilary (21 de diciembre de 2006). "Probabilidad en la interpretación de Everett" (PDF) . Philosophy Compass . 2 (1): 109–128 . doi : 10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Recuperado el 6 de diciembre de 2022 .
  13. ↑ Wallace, David (2010). «Cómo demostrar la regla de Born». En Kent, Adrian; Wallace, David; Barrett, Jonathan; Saunders, Simon (eds.). ¿ Muchos mundos? Everett, la teoría cuántica y la realidad . Oxford University Press. pp. 227–263 . arXiv : 0906.2718 . ISBN  978-0-191-61411-8.
  14. ↑ Zurek, Wojciech H. (25 de mayo de 2005). "Probabilidades a partir del entrelazamiento, regla de Born a partir de la envariancia" . Physical Review A. 71 052105. arXiv : quant -ph/0405161 . doi : 10.1103/PhysRevA.71.052105 . Recuperado el 6 de diciembre de 2022 .
  15. ↑ Landsman, NP (2008). "La regla de Born y su interpretación" (PDF) . En Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (eds.). Compendio de física cuántica . Springer. ISBN 978-3-540-70622-9La conclusión parece ser que hasta la fecha no se ha dado ninguna derivación generalmente aceptada de la regla de Born, pero esto no implica que dicha derivación sea imposible en principio .
  16. ↑ Sebens, Charles T.; Carroll, Sean M. (marzo de 2018). "Incertidumbre autolocalizada y el origen de la probabilidad en la mecánica cuántica everettiana" . The British Journal for the Philosophy of Science . 69 (1): 25– 74. arXiv : 1405.7577 . doi : 10.1093/bjps/axw004 .
  17. ↑ Vaidman, Lev (2020). «Derivaciones de la regla de Born» (PDF) . Quantum, Probability, Logic . Jerusalem Studies in Philosophy and History of Science. Springer. pp. 567–584 . doi : 10.1007/978-3-030-34316-3_26 . ISBN  978-3-030-34315-6. S2CID 156046920 . 
  18. ↑ Masanes, Lluís; Galley, Thomas; Müller, Markus (2019). "Los postulados de medición de la mecánica cuántica son operacionalmente redundantes" . Nature Communications . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Bibcode : 2019NatCo..10.1361M . doi : 10.1038/s41467-019-09348-x . PMC 6434053. PMID 30911009 .  
  19. ↑ Ball, Philip (13 de febrero de 2019). "Reconstrucción desde cero de una misteriosa regla cuántica" . Quanta Magazine . Archivado del original el 13 de febrero de 2019.
  20. ↑Saunders, Simon (24 November 2021). "Branch-counting in the Everett interpretation of quantum mechanics". Proceedings of the Royal Society A. 477 (2255) 20210600: 1–22. arXiv:2201.06087. Bibcode:2021RSPSA.47710600S. doi:10.1098/rspa.2021.0600. S2CID 244491576.
  21. ↑Goldstein, Sheldon (2017). "Bohmian Mechanics". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  22. ↑DeBrota, John B.; Fuchs, Christopher A.; Pienaar, Jacques L.; Stacey, Blake C. (2021). "Born's rule as a quantum extension of Bayesian coherence". Phys. Rev. A. 104 (2). 022207. arXiv:2012.14397. Bibcode:2021PhRvA.104b2207D. doi:10.1103/PhysRevA.104.022207.