La conjetura de Borsuk

Problema sin resolver en matemáticas

¿Cuál es el n más bajo tal que no todo subconjunto acotado E del espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$¿ Se puede particionar en ( n + 1 ) conjuntos, cada uno de los cuales tiene un diámetro menor que E ?

Más problemas sin resolver en matemáticas

El problema de Borsuk en geometría , por razones históricas ^{[ nota 1 ]} llamado incorrectamente conjetura de Borsuk , es una cuestión de geometría discreta . Recibe su nombre de Karol Borsuk .

En 1932, Karol Borsuk demostró ^{[ 2 ]} que una bola tridimensional ordinaria en el espacio euclidiano puede diseccionarse fácilmente en 4 sólidos, cada uno de los cuales tiene un diámetro menor que la bola, y en general una bola n -dimensional puede cubrirse con n + 1 conjuntos compactos de diámetros menores que la bola. Al mismo tiempo, demostró que n subconjuntos no son suficientes en general. La demostración se basa en el teorema de Borsuk-Ulam . Esto llevó a Borsuk a una pregunta general: ^{[ 2 ]}

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$in ( n + 1 ) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?

La siguiente pregunta permanece abierta: ¿Puede todo subconjunto acotado E del espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$¿ Se puede dividir en ( n + 1 ) conjuntos, cada uno de los cuales tiene un diámetro menor que E ?

La pregunta fue respondida afirmativamente en los siguientes casos:

• n = 2 — que es el resultado original de Karol Borsuk (1932).
• n = 3 — demostrado por Julian Perkal (1947), ^{[ 3 ]} e independientemente, 8 años después, por HG Eggleston (1955). ^{[ 4 ]} Una demostración sencilla fue hallada posteriormente por Branko Grünbaum y Aladár Heppes.
• Para todo n para campos convexos suaves — demostrado por Hugo Hadwiger (1946). ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• Para todo n para campos con simetría central — demostrado por AS Riesling (1971). ^{[ 7 ]}
• Para todos los campos de revolución n — mostrados por Boris Dekster (1995). ^{[ 8 ]}

El problema fue finalmente resuelto en 1993 por Jeff Kahn y Gil Kalai , quienes demostraron que la respuesta general a la pregunta de Borsuk es no . ^{[ 9 ]} Afirman que su construcción muestra que n + 1 piezas no son suficientes para n = 1325 y para cada n > 2014. Sin embargo, como señaló Bernulf Weißbach, ^{[ 10 ]} la primera parte de esta afirmación es de hecho falsa. Pero después de mejorar una conclusión subóptima dentro de la derivación correspondiente, se puede verificar uno de los conjuntos de puntos construidos como un contraejemplo para n = 1325 (así como para todas las dimensiones superiores hasta 1560). ^{[ 11 ]}

Su resultado fue mejorado en 2003 por Hinrichs y Richter, quienes construyeron conjuntos finitos para n ≥ 298 , que no pueden particionarse en n + 11 partes de menor diámetro. ^{[ 1 ]}

En 2013, Andriy V. Bondarenko demostró que la conjetura de Borsuk es falsa para todo n ≥ 65. [ ^{12 ] Poco} después, Thomas Jenrich derivó un contraejemplo de 64 dimensiones a partir de la construcción de Bondarenko, proporcionando la mejor cota hasta el momento. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Además de encontrar el número mínimo n de dimensiones tal que el número de piezas α ( n ) > n + 1 , los matemáticos están interesados ​​en encontrar el comportamiento general de la función α ( n ) . Kahn y Kalai muestran que, en general (es decir, para n suficientemente grande), se necesita${\textstyle \alpha (n)\geq (1.2)^{\sqrt {n}}}$muchas piezas. También citan la cota superior de Oded Schramm , quien demostró que para cada ε , si n es suficientemente grande,${\textstyle \alpha (n)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{n}}$. ^{[ 15 ]} El orden de magnitud correcto de α ( n ) aún se desconoce. ^{[ 16 ]} Sin embargo, se conjetura que hay una constante c > 1 tal que α ( n ) > c ⁿ para todo n ≥ 1 .

Oded Schramm también trabajó en una cuestión relacionada, un cuerpo${\displaystyle K}$Se dice que de ancho constante tiene radio efectivo${\displaystyle r}$si${\displaystyle {\text{Vol}}(K)=r^{n}{\text{Vol}}(\mathbb {B} ^{n})}$, dónde${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}$es la bola de la unidad en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, demostró el límite inferior${\displaystyle {\sqrt {3+2/(n+1)}}-1\leq r_{n}}$, dónde${\displaystyle r_{n}}$es el radio efectivo más pequeño de un cuerpo de ancho constante 2 pulgadas${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y preguntó si existe${\displaystyle \epsilon >0}$de tal manera que${\displaystyle r_{n}\leq 1-\epsilon }$a pesar de${\displaystyle n\geq 2}$, ^{[ 17 ] [ 18 ]} es decir, si la diferencia entre los volúmenes de los cuerpos de ancho constante más pequeño y más grande crece exponencialmente. En 2024, un preimpreso de Arman, Bondarenko, Nazarov , Prymak, Radchenko informó haber respondido a esta pregunta afirmativamente dando una construcción que satisface${\displaystyle {\text{Vol}}(K)\leq (0.9)^{n}{\text{Vol}}(\mathbb {B} ^{n})}$. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

• La conjetura de Hadwiger sobre cubrir cuerpos convexos con copias más pequeñas de sí mismos.
• Conjetura de Kahn-Kalai

• Oleg Pikhurko, Métodos algebraicos en combinatoria , apuntes del curso.
• Andrei M. Raigorodskii, El problema de partición de Borsuk: el septuagésimo aniversario, Mathematical Intelligencer 26 (2004), n.º 3, 4 – 12.
• Raigorodskii, Andreii M. (2008). «Tres conferencias sobre el problema de partición de Borsuk». En Young, Nicholas; Choi, Yemon (eds.). Estudios en matemáticas contemporáneas . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  347. Cambridge University Press . pp. 202–247 . ISBN  978-0-521-70564-6. Zbl 1144.52005 . 

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Borsuk" . MathWorld .