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La prueba de Boschloo

La prueba de Boschloo es una prueba de hipótesis estadística para analizar tablas de contingencia de 2x2 . Examina la asociación de dos variables aleatorias con distribución de ...

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La prueba de Boschloo es una prueba de hipótesis estadística para analizar tablas de contingencia de 2x2 . Examina la asociación de dos variables aleatorias con distribución de Bernoulli y es una alternativa uniformemente más potente que la prueba exacta de Fisher . Fue propuesta en 1970 por R. D. Boschloo. [ 1 ]

Configuración

Una tabla de contingencia de 2 × 2 visualiza norte {\displaystyle \ n\ }observaciones independientes de dos variables binarias A {\displaystyle \ A\ }y B {\displaystyle \ B\ }:

B=1B=0TotalA=1incógnita11incógnita10norte1A=0incógnita01incógnita00norte0Totals1s0norte{\displaystyle {\begin{array}{c|cc|c}&B=1&B=0&{\mbox{Total}}\\\hline A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hline {\mbox{Total}}&s_{1}&s_{0}&n\\\end{array}}}

La distribución de probabilidad de dichas tablas se puede clasificar en tres casos distintos. [ 2 ]

  1. La suma de la fila norte1 ,norte0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }y sumas de columnas s1 ,s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }están fijados de antemano y no son aleatorios. Entonces todos incógnitaij {\displaystyle \ x_{ij}\ }están determinados por incógnita11 .{\displaystyle \ x_{11}~.}Si A {\displaystyle \ A\ }y B {\displaystyle \ B\ }son independientes, incógnita11 {\displaystyle \ x_{11}\ }sigue una distribución hipergeométrica con parámetros norte ,norte1 ,s1 :{\displaystyle \ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ :}  incógnita11 ∼ Hipergeométrica( norte ,norte1 ,s1 ) .{\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ {\mbox{Hipergeométrica}}(\ n\ ,n_{1}\ ,s_{1}\ )~.}
  2. La suma de la fila norte1 ,norte0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }están fijadas de antemano pero las sumas de las columnas s1 ,s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }no lo son. Entonces todos los parámetros aleatorios están determinados por incógnita11 {\displaystyle \ x_{11}\ }yincógnita01 {\displaystyle x_{01}\ }, entonces incógnita11 ,incógnita01 {\displaystyle \ x_{11}\ ,x_{01}\ }siguen una distribución binomial con probabilidades pag1 ,pag0 :{\displaystyle \p_{1}\ ,p_{0}\ :}  incógnita11 ∼ B( norte1 ,pag1 ) {\displaystyle \ x_{11}\ \sim \ B(\ n_{1}\ ,p_{1}\ )\ } incógnita01 ∼ B( norte0 ,pag0 ) {\displaystyle \ x_{01}\ \sim \ B(\ n_{0}\ ,p_{0}\ )\ }
  3. Solo el número total norte {\displaystyle \ n\ }es fijo pero las sumas de filas norte1 ,norte0 {\displaystyle \ n_{1}\ ,n_{0}\ }y las sumas de las columnas s1 ,s0 {\displaystyle \ s_{1}\ ,s_{0}\ }no lo son. Entonces el vector aleatorio ( incógnita11,incógnita10 ,incógnita01 ,incógnita00 ) {\displaystyle \ (\ x_{11},x_{10}\ ,x_{01}\ ,x_{00}\ )\ }sigue una distribución multinomial con vector de probabilidad (pag11 ,pag10 ,pag01 ,pag00 ) .{\displaystyle \ (p_{11}\ ,p_{10}\ ,p_{01}\ ,p_{00}\ )~.}

Tipo de experimento 1: Experimento de prueba de sabor poco frecuente, totalmente controlado.

La prueba exacta de Fisher está diseñada para el primer caso y, por lo tanto, es una prueba condicional exacta (porque se basa en las sumas de las columnas). El ejemplo típico de este caso es el de la dama que prueba el té : Una dama prueba 8 tazas de té con leche. En 4 de ellas , la leche se vierte antes que el té. En las otras 4 tazas, el té se vierte primero.

La señora intenta asignar las tazas a las dos categorías. Siguiendo nuestra notación, la variable aleatoria A {\displaystyle \ A\ }representa el método utilizado (1 = leche primero, 0 = leche al final) y B {\displaystyle \ B\ }representa las suposiciones de la señora (1 = leche adivinada primero, 0 = leche adivinada al final). Luego, las sumas de las filas son los números fijos de tazas preparadas con cada método: norte1=4 ,norte0=4 .{\displaystyle \ n_{1}=4\ ,n_{0}=4~.}La señora sabe que hay 4 tazas en cada categoría, por lo que asignará 4 tazas a cada método. De este modo, las sumas de las columnas también quedan fijadas de antemano: s1=4 ,s0=4 .{\displaystyle \ s_{1}=4\ ,s_{0}=4~.}Si no es capaz de notar la diferencia, A {\displaystyle \ A\ }y B {\displaystyle \ B\ }son independientes y el número incógnita11 {\displaystyle \ x_{11}\ }de tazas correctamente clasificadas con leche primero sigue la distribución hipergeométrica Hipergeométrica(8,4,4) .{\displaystyle \ {\mbox{Hipergeométrico}}(8,4,4)~.}

Tipo de experimento 2: Experimento controlado de laboratorio normal, con un solo margen restringido.

La prueba de Boschloo está diseñada para el segundo caso y, por lo tanto, es una prueba incondicional exacta. Ejemplos de este caso se encuentran a menudo en la investigación médica, donde se compara un resultado binario entre dos grupos de pacientes. Siguiendo nuestra notación, A=1 {\displaystyle \ A=1\ }representa el primer grupo que recibe algún medicamento de interés. A=0 {\displaystyle \ A=0\ }representa el segundo grupo que recibe un placebo .B{\displaystyle B}Indica la curación de un paciente (1 = curación, 0 = no curación). Las sumas de las filas son iguales a los tamaños de los grupos y suelen estar predefinidas. Las sumas de las columnas representan el número total de curaciones o continuaciones de la enfermedad y no están predefinidas.

Tipo de experimento 3: Observación de campo, sin restricciones marginales.

La prueba chi-cuadrado de Pearson (sin ninguna corrección de continuidad ) es la opción correcta para el tercer caso, donde no hay restricciones ni en los totales de las filas ni en los totales de las columnas. Este tercer escenario describe la mayoría de los estudios observacionales u "observaciones de campo", donde los datos se recopilan según disponibilidad en un entorno no controlado. Por ejemplo, si uno sale a recolectar dos tipos de mariposas de un color particular predeterminado e identificable, que se puede reconocer antes de la captura, pero no es posible distinguir si una mariposa es de la especie  1 o de la especie  0 antes de ser capturada y examinada detenidamente: solo se puede saber por su color que una mariposa que se está buscando debe ser una de las dos especies de interés. Para cualquier sesión de recolección de mariposas de un día, no se puede predeterminar cuántas de cada especie se recolectarán, solo tal vez el número total de capturas, dependiendo del criterio del recolector para detenerse. Si las especies se contabilizan en filas separadas de la tabla, entonces las sumas de las filas no tienen restricciones y se distribuyen binomialmente de forma independiente. La segunda distinción entre las mariposas capturadas será si son hembras (tipo  1) o machos (tipo  0), lo cual se contabilizará en las columnas. Si su sexo también requiere un examen minucioso, este también se determinará aleatoriamente de forma independiente según una distribución binomial. Esto significa que, debido al diseño experimental , las sumas de las columnas no están restringidas, al igual que las filas: ni el recuento de cada especie ni el recuento del sexo de las mariposas capturadas en cada especie están predeterminados por el proceso de observación, y ninguno de los totales restringe al otro.

La única limitación posible es el total general de todas las mariposas capturadas, e incluso este podría no tener límite, dependiendo de cómo decida el recolector detenerse. Pero como no se puede saber con certeza de antemano, para un día y un prado específicos, el éxito de la búsqueda durante el tiempo disponible para la recolección, incluso el total general podría no tener límite: depende de si la limitación en los datos recopilados es el tiempo disponible para capturar mariposas o un total predeterminado a recolectar, tal vez para garantizar estadísticas suficientemente significativas.

Este tipo de «experimento» (también llamado «observación de campo») es casi totalmente incontrolado, por lo que algunos prefieren denominarlo simplemente «observación» y no «experimento». Todos los números de la tabla son aleatorios e independientes. Cada celda de la tabla de contingencia representa una probabilidad binomial independiente, y ni la prueba «exacta» totalmente restringida de Fisher ni la prueba parcialmente restringida de Boschloo se basan en las estadísticas derivadas del diseño experimental. La prueba chi-cuadrado de Pearson es la prueba adecuada para un estudio observacional no restringido, y, a su vez, emplea el modelo estadístico incorrecto para los otros dos tipos de experimentos. (Cabe mencionar que a la estadística chi-cuadrado de Pearson nunca se le debe aplicar ninguna «corrección de continuidad», por ejemplo, la «corrección de Yates»: la consecuencia de dicha «corrección» sería distorsionar sus valores p para que coincidan con la prueba de Fisher, es decir, dar una respuesta errónea).

Probar hipótesis

La hipótesis nula de la prueba unilateral de Boschloo (valores altos deincógnita1{\displaystyle x_{1}}favorecer la hipótesis alternativa) es:

H0:pag1≤pag0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}

La hipótesis nula de la prueba unilateral también puede formularse en la otra dirección (valores pequeños deincógnita1{\displaystyle x_{1}}favorecer la hipótesis alternativa):

H0:pag1≥pag0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\geq p_{0}}

La hipótesis nula de la prueba bilateral es:

H0:pag1=pag0{\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{0}}

No existe una definición universal de la versión bilateral de la prueba exacta de Fisher. [ 3 ] Dado que la prueba de Boschloo se basa en la prueba exacta de Fisher, tampoco existe una versión bilateral universal de la prueba de Boschloo. A continuación, trataremos la prueba unilateral yH0:pag1≤pag0{\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}.

La idea de Boschloo

Denotamos el nivel de significancia deseado porα{\displaystyle \alpha }La prueba exacta de Fisher es una prueba condicional y apropiada para el primero de los casos mencionados anteriormente. Pero si tratamos la suma de la columna observadas1{\displaystyle s_{1}}Como se ha fijado de antemano, la prueba exacta de Fisher también se puede aplicar al segundo caso. El tamaño real de la prueba depende entonces de los parámetros de perturbación.pag1{\displaystyle p_{1}}ypag0{\displaystyle p_{0}}Se puede demostrar que el tamaño máximomáximopag1≤pag0(tamaño(pag1,pag0)){\displaystyle \max \limits _{p_{1}\leq p_{0}}{\big (}{\mbox{size}}(p_{1},p_{0}){\big )}}se toma en proporciones igualespag=pag1=pag0{\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}[ 4 ] y todavía está controlado porα{\displaystyle \alpha }. [ 1 ] Sin embargo, Boschloo afirmó que para tamaños de muestra pequeños, el tamaño máximo suele ser considerablemente menor queα{\displaystyle \alpha }Esto conlleva una pérdida de potencia indeseable .

Boschloo propuso utilizar la prueba exacta de Fisher con un nivel nominal mayor.α∗>α{\displaystyle \alpha ^{*}>\alpha }. Aquí,α∗{\displaystyle \alpha ^{*}}debe elegirse lo más grande posible de manera que el tamaño máximo siga estando controlado porα{\displaystyle \alpha }:máximopag∈[0,1](tamaño(pag))≤α{\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}{\big (}{\mbox{size}}(p){\big )}\leq \alpha }Este método fue especialmente ventajoso en el momento de la publicación de Boschloo porqueα∗{\displaystyle \alpha ^{*}}se podrían buscar valores comunes deα,norte1{\displaystyle \alpha ,n_{1}}ynorte0{\displaystyle n_{0}}Esto hizo que realizar la prueba de Boschloo fuera computacionalmente sencillo.

Estadístico de prueba

La regla de decisión del enfoque de Boschloo se basa en la prueba exacta de Fisher. Una forma equivalente de formular la prueba es usar el valor p de la prueba exacta de Fisher como estadístico de prueba . El valor p de Fisher se calcula a partir de la distribución hipergeométrica (para simplificar la notación, escribimos ).incógnita1,incógnita0{\displaystyle x_{1},x_{0}}en lugar deincógnita11,incógnita01{\displaystyle x_{11},x_{01}}):

pagF=1−FHipergeométrica(norte,norte1,incógnita1+incógnita0)(incógnita1−1){\displaystyle p_{F}=1-F_{{\mbox{Hipergeométrica}}(n,n_{1},x_{1}+x_{0})}(x_{1}-1)}

La distribución depagF{\displaystyle p_{F}}está determinado por las distribuciones binomiales deincógnita1{\displaystyle x_{1}}yincógnita0{\displaystyle x_{0}}y depende del parámetro de perturbación desconocidopag{\displaystyle p}Para un nivel de significancia especificadoα,{\displaystyle \alpha ,}el valor crítico depagF{\displaystyle p_{F}}es el valor máximoα∗{\displaystyle \alpha ^{*}}que satisfacemáximopag∈[0,1]PAG(pagF≤α∗)≤α{\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}P(p_{F}\leq \alpha ^{*})\leq \alpha }. El valor críticoα∗{\displaystyle \alpha ^{*}}es igual al nivel nominal del enfoque original de Boschloo.

Modificación

La prueba de Boschloo aborda el parámetro de perturbación desconocido.pag{\displaystyle p}tomando el máximo en todo el espacio de parámetros[0,1]{\displaystyle [0,1]}El procedimiento de Berger & Boos adopta un enfoque diferente al maximizarPAG(pagF≤α∗){\displaystyle P(p_{F}\leq \alpha ^{*})}más de un(1−γ){\displaystyle (1-\gamma )}intervalo de confianza depag=pag1=pag0{\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}y añadiendoγ{\displaystyle \gamma }. [ 5 ]γ{\displaystyle \gamma }Suele ser un valor pequeño, como 0,001 o 0,0001. Esto da como resultado una prueba de Boschloo modificada que también es exacta. [ 6 ]

Comparación con otras pruebas exactas

Todas las pruebas exactas mantienen el nivel de significancia especificado, pero su potencia puede variar en diferentes situaciones. Mehrotra et al. compararon la potencia de algunas pruebas exactas en diferentes situaciones. [ 6 ] Los resultados relativos a la prueba de Boschloo se resumen a continuación.

Prueba de Boschloo modificada

La prueba de Boschloo y la prueba de Boschloo modificada tienen una potencia similar en todos los escenarios considerados. La prueba de Boschloo tiene una potencia ligeramente mayor en algunos casos, y viceversa en otros.

Prueba exacta de Fisher

La prueba de Boschloo es, por definición, uniformemente más potente que la prueba exacta de Fisher. Para muestras pequeñas (por ejemplo, 10 participantes por grupo), la diferencia de potencia es considerable, oscilando entre 16 y 20 puntos porcentuales en los casos analizados. Para muestras de mayor tamaño, la diferencia de potencia es menor.

Prueba Z-Pooled exacta

Esta prueba se basa en el estadístico de prueba

ZPAG(incógnita1,incógnita0)=pag^1−pag^0pag~(1−pag~)(1norte1+1norte0),{\displaystyle Z_{P}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}

dóndepag^i=incógnitainortei{\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}son las tarifas de eventos grupales ypag~=incógnita1+incógnita0norte1+norte0{\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {x_{1}+x_{0}}{n_{1}+n_{0}}}}es la tasa de eventos agrupados.

El poder de esta prueba es similar al de la prueba de Boschloo en la mayoría de los escenarios. En algunos casos, laZ{\displaystyle Z}-La prueba combinada tiene mayor potencia, con diferencias que generalmente oscilan entre 1 y 5 puntos porcentuales. En muy pocos casos, la diferencia llega hasta los 9 puntos porcentuales.

Esta prueba también puede modificarse mediante el procedimiento de Berger y Boos. Sin embargo, la prueba resultante tiene una potencia muy similar a la de la prueba original en todos los casos.

Prueba Z-Unpooled exacta

Esta prueba se basa en el estadístico de prueba

ZU(incógnita1,incógnita0)=pag^1−pag^0pag^1(1−pag^1)norte1+pag^0(1−pag^0)norte0,{\displaystyle Z_{U}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{0}(1-{\hat {p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}

dóndepag^i=incógnitainortei{\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}son las tarifas de eventos grupales.

El poder de esta prueba es similar al de la prueba de Boschloo en muchos escenarios. En algunos casos, laZ{\displaystyle Z}La prueba sin agrupar tiene mayor potencia, con diferencias que oscilan entre 1 y 5 puntos porcentuales. Sin embargo, en otros casos, la prueba de Boschloo tiene una potencia notablemente mayor, con diferencias de hasta 68 puntos porcentuales.

Esta prueba también puede modificarse mediante el procedimiento de Berger y Boos. En la mayoría de los casos, la prueba resultante tiene una potencia similar a la prueba original. En algunos casos, la modificación mejora considerablemente la potencia, pero la comparación general con la prueba de Boschloo permanece inalterada.

Software

El cálculo de la prueba de Boschloo se puede realizar con el siguiente software:

  • La función scipy.stats.boschloo_exact de SciPy
  • Paquetes Exact y exact2x2 del lenguaje de programación R
  • StatXact

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Boschloo RD (1970). "Nivel de significancia condicional elevado para la tabla 2 x 2 al probar la igualdad de dos probabilidades". Statistica Neerlandica . 24 : 1– 35. doi : 10.1111/j.1467-9574.1970.tb00104.x .
  2. ^ Lydersen, S.; Fagerland, MW; Laake, P. (2009). «Pruebas recomendadas de asociación en tablas 2×2 ». Estadístico. Med . 28 (7): 1159–1175 . doi : 10.1002/sim.3531 . PMID 19170020 . S2CID 3900997 .  
  3. ↑ Martín Andrés, A. y I. Herranz Tejedor (1995). "¿Es muy conservadora la prueba exacta de Fisher?". Computational Statistics and Data Analysis . 19 (5): 579– 591. doi : 10.1016/0167-9473(94)00013-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ↑ Finner, H, y Strassburger, K (2002). "Propiedades estructurales de las pruebas UMPU para tablas de 2x2 y algunas aplicaciones". Journal of Statistical Planning and Inference . 104 : 103–120 . doi : 10.1016/S0378-3758(01)00122-7 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  5. ↑ Berger, RL y Boos, DD (1994). "Valores p maximizados sobre un conjunto de confianza para el parámetro de perturbación" . Journal of the American Statistical Association . 89 (427): 1012–1016 . doi : 10.2307/2290928 . JSTOR 2290928 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  6. 1 2 Mehrotra, DV, Chan, ISF y Berger, RL (2003). "Una nota de precaución sobre la inferencia incondicional exacta para una diferencia entre dos proporciones binomiales independientes" . Biometrics . 59 ( 2): 441– 450. doi : 10.1111/1541-0420.00051 . PMID 12926729. S2CID 28556526 .  {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )