Problema de valores en la frontera

En el estudio de ecuaciones diferenciales , un problema de valores en la frontera es una ecuación diferencial sujeta a restricciones llamadas condiciones de frontera . ^{[ 1 ]} Una solución a un problema de valores en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de frontera.

Los problemas de contorno surgen en varias ramas de la física, ya que cualquier ecuación diferencial física los presenta. Los problemas que involucran la ecuación de onda , como la determinación de los modos normales , a menudo se plantean como problemas de contorno. Una gran clase de problemas de contorno importantes son los problemas de Sturm-Liouville . El análisis de estos problemas, en el caso lineal, involucra las autofunciones de un operador diferencial .

Para que un problema de contorno sea útil en aplicaciones prácticas, debe estar bien planteado . Esto significa que, dados los datos de entrada, existe una solución única que depende continuamente de dichos datos. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de contorno que surgen en aplicaciones científicas y de ingeniería están, de hecho, bien planteados.

Entre los primeros problemas de valores en la frontera que se estudiaron está el problema de Dirichlet , que consiste en encontrar las funciones armónicas (soluciones de la ecuación de Laplace ); la solución fue dada por el principio de Dirichlet .

Los problemas de valores en la frontera son similares a los problemas de valores iniciales . Un problema de valores en la frontera tiene condiciones especificadas en los extremos ("límites") de la variable independiente en la ecuación, mientras que un problema de valores iniciales tiene todas las condiciones especificadas en el mismo valor de la variable independiente (y ese valor está en el límite inferior del dominio, de ahí el término "valor inicial"). Un valor en la frontera es un valor de datos que corresponde a un valor mínimo o máximo de entrada, interno o de salida especificado para un sistema o componente. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo en el dominio [0,1], un problema de valores en la frontera especificaría valores para${\displaystyle y(t)}$en ambos${\displaystyle t=0}$y${\displaystyle t=1}$, mientras que un problema de valor inicial especificaría un valor de${\displaystyle y(t)}$y${\displaystyle y'(t)}$en ese momento${\displaystyle t=0}$.

Determinar la temperatura en todos los puntos de una barra de hierro, manteniendo un extremo a cero absoluto y el otro al punto de congelación del agua, sería un problema de valores en la frontera.

Si el problema depende tanto del espacio como del tiempo, se podría especificar el valor del problema en un punto determinado para todo el tiempo o en un momento determinado para todo el espacio.

Concretamente, un ejemplo de problema de valores en la frontera (en una dimensión espacial) es

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

a resolver para la función desconocida${\displaystyle y(x)}$con las condiciones de contorno

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Sin las condiciones de contorno, la solución general de esta ecuación es

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

A partir de la condición de contorno${\displaystyle y(0)=0}$uno obtiene

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

lo cual implica que${\displaystyle B=0.}$A partir de la condición de contorno${\displaystyle y(\pi /2)=2}$uno encuentra

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

y entonces${\displaystyle A=2.}$Se observa que la imposición de condiciones de contorno permitió determinar una solución única, que en este caso es

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Las 3 clases estándar ^{[ 3 ]} de condiciones son Dirichlet, Neumann y Cauchy ^{[ 4 ]} o Robin, ^{[ 3 ]} con también mixtas, ^{[ 5 ]} frontera como infinito. ^{[ 6 ]}

Resumen de las condiciones de contorno para la función desconocida,${\displaystyle y}$, constantes${\displaystyle c_{0}}$y${\displaystyle c_{1}}$especificadas por las condiciones de contorno y funciones escalares conocidas${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$especificado por las condiciones de contorno.

Condiciones de valor límite

Una condición de contorno de tipo 1, la condición de contorno de Dirichlet , ^{[ 7 ]} especifica el valor de la función misma. Por ejemplo, si un extremo de una barra de hierro se mantiene en el cero absoluto, entonces el valor del problema se conocería en ese punto del espacio.

Una condición de contorno de tipo 2, la condición de contorno de Neumann ^{[ 7 ]} , especifica el valor de la derivada normal de la función. Por ejemplo, si hay un calentador en un extremo de una varilla de hierro, se añadiría energía a un ritmo constante, pero se desconocería la temperatura real.

Una condición de contorno de tipo 3 es la condición de Robin. ^{[ 7 ]}

Si el límite tiene la forma de una curva o superficie que da un valor a la derivada normal y a la variable misma, entonces es una condición de contorno de Cauchy .

Una condición de contorno de tipo 0 no tiene límite físico. ^{[ 7 ]}

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

• "Problemas de valores en la frontera en la teoría del potencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• "Problema de valores en la frontera, métodos de variables complejas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales lineales: soluciones exactas y problemas de valores en la frontera en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Problema de valores en la frontera" . Scholarpedia .