Función acotada

En matemáticas , una función${\displaystyle f}$definido en algún conjunto${\displaystyle X}$Un conjunto con valores reales o complejos se denomina acotado si el conjunto de sus valores (su imagen ) es acotado . En otras palabras, existe un número real${\displaystyle M}$de tal manera que

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]} Se dice que una función que no está acotada es no acotada .

Si${\displaystyle f}$es de valor real y${\displaystyle f(x)\leq A}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, entonces se dice que la función está acotada (desde) arriba por${\displaystyle A}$. Si${\displaystyle f(x)\geq B}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, entonces se dice que la función está acotada inferiormente por${\displaystyle B}$Una función de valor real está acotada si y solo si está acotada superior e inferiormente. ^{[ 1 ]}

Un caso especial importante es una sucesión acotada , donde${\displaystyle X}$se toma por el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales . Por lo tanto, una secuencia${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$está acotada si existe un número real${\displaystyle M}$de tal manera que

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

para cada número natural${\displaystyle n}$El conjunto de todas las secuencias acotadas forma el espacio de secuencias .${\displaystyle l^{\infty }}$.

La definición de acotación puede generalizarse a funciones.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$tomando valores en un espacio más general${\displaystyle Y}$al exigir que la imagen${\displaystyle f(X)}$es un conjunto acotado en${\displaystyle Y}$.

Más débil que la acotación es la acotación local . Una familia de funciones acotadas puede estar uniformemente acotada .

Un operador acotado${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$no es una función acotada en el sentido de la definición de esta página (a menos que${\displaystyle T=0}$), pero tiene la propiedad más débil de preservar la acotación ; conjuntos acotados${\displaystyle M\subseteq X}$se asignan a conjuntos acotados${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$Esta definición puede extenderse a cualquier función .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Permiten la existencia de un conjunto acotado. La acotación también puede determinarse observando un gráfico.

• La función seno${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } está acotado ya que${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• La función${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$, definido para todos los reales${\displaystyle x}$excepto para −1 y 1, no está acotado. Como${\displaystyle x}$A medida que se aproxima a −1 o 1, los valores de esta función aumentan en magnitud. Esta función puede hacerse acotada si se restringe su dominio a, por ejemplo,${\displaystyle [2,\infty )}$o${\displaystyle (-\infty ,-2]}$.
• La función${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$, definido para todos los reales${\displaystyle x}$, está acotado, ya que${\textstyle |f(x)|\leq 1}$a pesar de${\displaystyle x}$.
• La función trigonométrica inversa arcotangente se define como:${\displaystyle y=\arctan(x)}$o${\displaystyle x=\tan(y)}$está aumentando para todos los números reales${\displaystyle x}$y delimitado con${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$radianes ^{[ 3 ]}
• Por el teorema de acotación , toda función continua en un intervalo cerrado, como${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$, está acotada. ^{[ 4 ]} De manera más general, cualquier función continua de un espacio compacto a un espacio métrico está acotada.
• Todas las funciones de valor complejo${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$que son enteros son o bien ilimitados o constantes como consecuencia del teorema de Liouville . ^{[ 5 ]} En particular, el complejo${\displaystyle \sin$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } debe ser ilimitado ya que es entero.
• La función${\displaystyle f}$que toma el valor 0 para${\displaystyle x}$número racional y 1 para${\displaystyle x}$Un número irracional (cf. función de Dirichlet ) está acotado. Por lo tanto, una función no necesita ser "buena" para estar acotada. El conjunto de todas las funciones acotadas definidas en${\displaystyle [0,1]}$es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en ese intervalo. Además, las funciones continuas no tienen por qué estar acotadas; por ejemplo, las funciones${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle g(x,y):=x+y}$y${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$ambas son continuas, pero ninguna es acotada. ^{[ 6 ]} (Sin embargo, una función continua debe ser acotada si su dominio es cerrado y acotado. ^{[ 6 ]} )

• Conjunto acotado
• Soporte compacto
• límites locales
• Acotación uniforme