Grupo generado de forma limitada

Dado que la generación acotada se conserva al tomar imágenes homomórficas, si se sabe que un único grupo finitamente generado con al menos dos generadores no es acotado, esto será cierto para el grupo libre con el mismo número de generadores y, por lo tanto, para todos los grupos libres. Para demostrar que ningún grupo libre (no cíclico) tiene generación acotada, basta con presentar un ejemplo de un grupo finitamente generado que no sea acotado, y cualquier grupo de torsión infinito finitamente generado servirá. La existencia de tales grupos constituye la solución negativa de Golod y Shafarevich al problema generalizado de Burnside en 1964; posteriormente, Aleshin, Olshanskii y Grigorchuk construyeron otros ejemplos explícitos de grupos de torsión infinitos finitamente generados, utilizando autómatas . En consecuencia, los grupos libres de rango al menos dos no son acotados.

El grupo simétrico S _n puede generarse mediante dos elementos, un ciclo de 2 elementos y un ciclo de n elementos , de modo que sea un grupo cociente de F ₂ . Por otro lado, es fácil demostrar que el orden máximo M ( n ) de un elemento en S _n satisface

log M ( n ) ≤ n / e

donde e es el número de Euler ( Edmund Landau demostró la estimación asintótica más precisa log M ( n ) ~ ( n log n ) ^1/2 ). De hecho, si los ciclos en una descomposición cíclica de una permutación tienen longitud N ₁ , ..., N _k con N ₁ + ··· + N _k = n , entonces el orden de la permutación divide el producto N ₁ ··· N _k , que a su vez está acotado por ( n / k ) ^k , usando la desigualdad de las medias aritmética y geométrica . Por otro lado, ( n / x ) ^x se maximiza cuando x = e . Si F ₂ pudiera escribirse como un producto de m subgrupos cíclicos, entonces necesariamente n ! tendría que ser menor o igual que M ( n ) ^m para todo n , contradiciendo la fórmula asintótica de Stirling .

También existe una prueba geométrica simple de que G = SL ₂ ( Z ) no es acotadamente generada. Actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior H , con la métrica de Poincaré . Cualquier 1-forma α con soporte compacto en un dominio fundamental de G se extiende de forma única a una 1-forma G -invariante en H . Si z está en H y γ es la geodésica de z a g ( z ), la función definida por

${\displaystyle F(g)\equiv F_{\alpha ,z}(g)=\int _{\gamma }\,\alpha }$

satisface la primera condición para un pseudocarácter ya que por el teorema de Stokes

${\displaystyle F(gh)-F(g)-F(h)=\int _{\Delta }\,d\alpha ,}$

donde Δ es el triángulo geodésico con vértices z , g ( z ) y h ⁻¹ ( z ), y los triángulos geodésicos tienen un área delimitada por π. La función homogeneizada

${\displaystyle f_{\alpha }(g)=\lim _{n\rightarrow \infty }F_{\alpha ,z}(g^{n})/n}$

define un pseudocarácter, que depende únicamente de α. Como es bien sabido en la teoría de sistemas dinámicos , cualquier órbita ( g ^k ( z )) de un elemento hiperbólico g tiene un conjunto límite que consta de dos puntos fijos en el eje real extendido; de ello se deduce que el segmento geodésico de z a g ( z ) corta solo un número finito de traslaciones del dominio fundamental. Por lo tanto, es fácil elegir α de modo que f _α sea igual a uno en un elemento hiperbólico dado y se anule en un conjunto finito de otros elementos hiperbólicos con puntos fijos distintos. Dado que G tiene, por consiguiente, un espacio de pseudocaracteres de dimensión infinita, no puede ser generado de forma acotada.

De manera similar, las propiedades dinámicas de los elementos hiperbólicos pueden utilizarse para demostrar que cualquier grupo hiperbólico de Gromov no elemental no está acotado y generado.

Robert Brooks propuso un esquema combinatorio para generar pseudocaracteres de cualquier grupo libre F _n ; posteriormente se demostró que este esquema producía una familia de pseudocaracteres de dimensión infinita (véase Grigorchuk 1994 ). Epstein y Fujiwara extendieron posteriormente estos resultados a todos los grupos hiperbólicos de Gromov no elementales.

Esta sencilla demostración folclórica utiliza propiedades dinámicas de la acción de elementos hiperbólicos sobre la frontera de Gromov de un grupo hiperbólico de Gromov . Para el caso especial del grupo libre F _n , la frontera (o espacio de extremos) puede identificarse con el espacio X de palabras reducidas semiinfinitas.

g ₁ g ₂ ···

en los generadores y sus inversos. Da una compactificación natural del árbol , dada por el grafo de Cayley con respecto a los generadores. Una secuencia de palabras semiinfinitas converge a otra palabra de este tipo siempre que los segmentos iniciales coincidan después de una cierta etapa, de modo que X sea compacto (y metrizable ). El grupo libre actúa mediante multiplicación izquierda sobre las palabras semiinfinitas. Además, cualquier elemento g en F _n tiene exactamente dos puntos fijos g ^±∞ , a saber, las palabras infinitas reducidas dadas por los límites de g ⁿ cuando n tiende a ±∞. Además, g ⁿ · w tiende a g ^±∞ cuando n tiende a ±∞ para cualquier palabra semiinfinita w ; y más generalmente si w _n tiende a w ≠ g ^±∞ , entonces g ⁿ · w _n tiende a g ^+∞ cuando n tiende a ∞.

Si F _n fuera acotadamente generado, podría escribirse como un producto de grupos cíclicos C _i generados por elementos h _i . Sea X ₀ el subconjunto numerable dado por las órbitas finitas de F _n de los puntos fijos h _i ^±∞ , los puntos fijos de los h _i y todos sus conjugados. Dado que X es incontable, existe un elemento de g con puntos fijos fuera de X ₀ y un punto w fuera de X ₀ distinto de estos puntos fijos. Entonces, para alguna subsecuencia ( g _m ) de ( g ⁿ )

g _m = h ₁ ^{n ( m ,1)} ··· h _k ^{n ( m , k )} , donde cada n ( m , i ) es constante o estrictamente monótono.

Por un lado, mediante el uso sucesivo de las reglas para calcular límites de la forma h ⁿ · w _n , el límite del lado derecho aplicado a x es necesariamente un punto fijo de uno de los conjugados de los h _i 's. Por otro lado, este límite también debe ser g ^+∞ , que no es uno de estos puntos, lo cual es una contradicción.