Límites de la integración

En cálculo y análisis matemático , los límites de integración (o cotas de integración ) de la integral$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

de una función integrable de Riemann${\displaystyle f}$Los números reales definidos en un intervalo cerrado y acotado son los números reales.${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, en el cual${\displaystyle a}$se denomina límite inferior y${\displaystyle b}$el límite superior . La región que está delimitada puede verse como el área dentro${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Por ejemplo, la función${\displaystyle f(x)=x^{3}}$se define en el intervalo${\displaystyle [2,4]}$$${\displaystyle \int _{2}^{4}x^{3}\,dx}$$ con los límites de la integración siendo${\displaystyle 2}$y${\displaystyle 4}$. ^{[ 1 ]}

En la integración por sustitución , los límites de integración cambiarán debido a la nueva función que se está integrando. Con la función que se está derivando,${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$están resueltos${\displaystyle f(u)}$. En general, $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$ dónde${\displaystyle u=g(x)}$y${\displaystyle du=g'(x)\ dx}$. De este modo,${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se resolverá en términos de${\displaystyle u}$; el límite inferior es${\displaystyle g(a)}$y el límite superior es${\displaystyle g(b)}$.

Por ejemplo, $${\displaystyle \int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)\,du}$$

dónde${\displaystyle u=x^{2}}$y${\displaystyle du=2xdx}$. De este modo,${\displaystyle f(0)=0^{2}=0}$y${\displaystyle f(2)=2^{2}=4}$Por lo tanto, los nuevos límites de integración son${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 4}$. ^{[ 2 ]}

Lo mismo se aplica a otras sustituciones.

También se pueden definir límites de integración para integrales impropias , con los límites de integración de ambos $${\displaystyle \lim _{z\to a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$$ y $${\displaystyle \lim _{z\to b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$$ Nuevamente, a y b . Para una integral impropia$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$$ o $${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$$ Los límites de integración son a e ∞, o − ∞ y b , respectivamente. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle c\in (a,b)}$, entonces ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx.}$$

• Integral
• Integración de Riemann
• Integral definida