Corchete (matemáticas)

En matemáticas , los corchetes de diversas formas tipográficas, como paréntesis (  ), corchetes [  ], llaves {  } y corchetes angulares ⟨  ⟩, se utilizan con frecuencia en la notación matemática . Generalmente, estos corchetes denotan algún tipo de agrupación: al evaluar una expresión que contiene una subexpresión entre corchetes, los operadores de la subexpresión tienen prioridad sobre los que la rodean. A veces, para mayor claridad, se utilizan diferentes tipos de corchetes para expresar el mismo significado de prioridad en una sola expresión con anidamiento profundo de subexpresiones. ^{[ 1 ]}

Históricamente, otras notaciones, como el vínculo , se utilizaban de forma similar para agrupar. En la actualidad, todas estas notaciones tienen significados específicos. El primer uso de corchetes para indicar agregación (es decir, agrupación) fue sugerido en 1608 por Christopher Clavius ​​y en 1629 por Albert Girard . ^{[ 2 ]}

Se utilizan diversos símbolos para representar los corchetes angulares. En el correo electrónico y otros textos ASCII , es común usar los signos de menor que ( <) y mayor que ( >) para representarlos, ya que ASCII no los incluye. ^{[ 3 ]}

Unicode tiene pares de caracteres dedicados; además de los símbolos de menor que y mayor que, estos incluyen:

• U+27E8 ⟨ CORCHETE MATEMÁTICO DE ÁNGULO IZQUIERDO y U+27E9 ⟩ CORCHETE MATEMÁTICO DE ÁNGULO DERECHO
• U+29FC ⧼ SOPORTE DE ÁNGULO CURVO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+29FD ⧽ SOPORTE DE ÁNGULO CURVO QUE APUNTA A LA DERECHA
• U+2991 ⦑ CORCHETE DE ÁNGULO IZQUIERDO CON PUNTO y U+2992 ⦒ CORCHETE DE ÁNGULO DERECHO CON PUNTO
• U+27EA ⟪ CORCHETE MATEMÁTICO DE DOBLE ÁNGULO IZQUIERDO y U+27EB ⟫ CORCHETE MATEMÁTICO DE DOBLE ÁNGULO DERECHO
• U+2329 〈 CORCHETE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+232A 〉 CORCHETE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA DERECHA, que están obsoletos ^{[ 4 ]}

En LaTeX el marcado es \langley \rangle:${\displaystyle \langle \ \rangle }$.

Los corchetes angulares no matemáticos incluyen:

• U+3008 〈 CORCHETE DE ÁNGULO IZQUIERDO y U+3009 〉 CORCHETE DE ÁNGULO DERECHO , utilizados en citas de textos de Asia Oriental
• U+276C ❬ ADORNO DE SOPORTE ANGULAR MEDIANO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+276D ❭ ADORNO DE SOPORTE ANGULAR MEDIANO QUE APUNTA A LA DERECHA , que son dingbats

Hay símbolos adicionales con mayor grosor de línea, ^{[ 5 ]} muchas comillas angulares y caracteres obsoletos.

En álgebra elemental , los paréntesis ( ) se utilizan para especificar el orden de las operaciones . ^{[ 1 ]} Los términos dentro del paréntesis se evalúan primero; por lo tanto, 2×(3  +  4) es 14, 20 ÷ (5(1  +  1)) es 2 y (2×3)  +  4 es 10. Esta notación se extiende para cubrir álgebra más general que involucra variables: por ejemplo ( x + y ) × ( x − y ) . Los corchetes también se utilizan a menudo en lugar de un segundo conjunto de paréntesis cuando están anidados, para proporcionar una distinción visual.

En las expresiones matemáticas en general, los paréntesis también se utilizan para indicar agrupaciones (es decir, qué partes pertenecen juntas) cuando es comestible para evitar ambigüedades y mejorar la claridad. Por ejemplo, en la fórmula${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Bacalao\,\eta _{X}}\eta _{X}}$, utilizado en la definición de composición de dos transformaciones naturales , los paréntesis alrededor${\displaystyle \varepsilon \eta }$servir para indicar que la indexación por${\displaystyle X}$se aplica a la composición${\displaystyle \varepsilon \eta }$y no solo su último componente${\displaystyle \eta }$.

Los argumentos de una función suelen ir entre corchetes:${\displaystyle f(x)}$. Con algunas funciones estándar cuando hay pocas posibilidades de ambigüedad, es común omitir por completo los paréntesis alrededor del argumento (por ejemplo,${\displaystyle \sin x}$). Tenga en cuenta que esto nunca se hace con una función general.${\displaystyle f}$, en cuyo caso los paréntesis siempre están incluidos

En el sistema de coordenadas cartesianas , los corchetes se utilizan para especificar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, (2,3) denota el punto con coordenada x = 2 y coordenada y = 3.

El producto escalar de dos vectores se suele escribir como${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pero también se utiliza la notación ( a , b ).

Tanto los paréntesis, ( ), como los corchetes, [ ], también pueden usarse para denotar un intervalo . La notación${\displaystyle [a,c)}$se utiliza para indicar un intervalo de a a c que es inclusivo de${\displaystyle a}$—pero excluyendo${\displaystyle c}$. Eso es,${\displaystyle [5,12)}$Sería el conjunto de todos los números reales entre 5 y 12, incluyendo el 5 pero no el 12. Aquí, los números pueden acercarse tanto como quieran a 12, incluyendo 11.999 y así sucesivamente (con cualquier cantidad finita de 9), pero 12.0 no está incluido.

En algunos países europeos, la notación${\displaystyle [5,12[}$también se utiliza para esto, y dondequiera que se utilice la coma como separador decimal , se podría utilizar el punto y coma como separador para evitar ambigüedad (por ejemplo,${\displaystyle (0;1)}$). ^{[ 6 ]}

El extremo adyacente al corchete se conoce como cerrado , mientras que el extremo adyacente al paréntesis se conoce como abierto . Si ambos tipos de corchetes son iguales, todo el intervalo puede denominarse cerrado o abierto según corresponda. Siempre que se utilice infinito o menos infinito como extremo (en el caso de intervalos en la recta real ), se considera abierto y adyacente a un paréntesis. El extremo puede ser cerrado cuando se consideran intervalos en la recta real extendida .

Una convención común en matemáticas discretas es definir${\displaystyle [n]}$como el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que${\displaystyle n}$. Eso es,${\displaystyle [5]}$correspondería al conjunto${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$.

Las llaves { } se utilizan para identificar los elementos de un conjunto . Por ejemplo, { a , b , c } denota un conjunto de tres elementos a , b y c .

Los corchetes angulares ⟨ ⟩ se utilizan en la teoría de grupos y el álgebra conmutativa para especificar presentaciones de grupos y para denotar el subgrupo o ideal generado por una colección de elementos.

Una matriz dada explícitamente se suele escribir entre grandes paréntesis redondos o cuadrados:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

La notación

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

representa la n -ésima derivada de la función f , aplicada al argumento x . Por lo tanto, por ejemplo, si${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$, entonces${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$Esto debe contrastarse con${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$, la aplicación n veces mayor de f al argumento x .

La notación${\displaystyle (x)_{n}}$se utiliza para denotar el factorial descendente , un polinomio de grado n definido por

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(xn)!}}.}$

Alternativamente, la misma notación puede encontrarse como representación del factorial ascendente , también llamado " símbolo de Pochhammer ". Otra notación para el mismo es${\displaystyle x^{(n)}}$Se puede definir mediante

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

En mecánica cuántica , los corchetes angulares también se utilizan como parte del formalismo de Dirac , la notación bra-ket , para denotar vectores de los espacios duales del bra. ${\displaystyle \left\langle A\right|}$y la ket ${\displaystyle \left|B\right\rangle }$.

En mecánica estadística , los corchetes angulares denotan un promedio de conjunto o un promedio temporal.

Los corchetes se utilizan para contener la(s) variable(s) en anillos de polinomios . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$es el anillo de polinomios con coeficientes de números reales y variable${\displaystyle x}$. ^{[ 7 ]}

Si A es un subanillo de un anillo B , y b es un elemento de B , entonces A [ b ] denota el subanillo de B generado por A y b . Este subanillo consta de todos los elementos que se pueden obtener, a partir de los elementos de A y b , mediante suma y multiplicación repetidas; equivalentemente, es el subanillo más pequeño de B que contiene a A y b . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$es el subanillo más pequeño de C que contiene todos los enteros y${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$; consta de todos los números de la forma${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$donde m y n son enteros arbitrarios. Otro ejemplo:${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$es el subanillo de Q que consta de todos los números racionales cuyo denominador es una potencia de 2 .

De forma más general, si A es un subanillo de un anillo B , y${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$, entonces${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$denota el subanillo de B generado por A y${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$. De manera aún más general, si S es un subconjunto de B , entonces A [ S ] es el subanillo de B generado por A y S.

En teoría de grupos y teoría de anillos , los corchetes se utilizan para denotar el conmutador . En teoría de grupos, el conmutador [ g , h ] se define comúnmente como g ^{− 1} h ^{− 1} gh . En teoría de anillos, el conmutador [ a , b ] se define como ab − ba . Además, las llaves se pueden usar para denotar el anticonmutador : { a , b } se define como ab + ba .

El corchete de Lie de un álgebra de Lie es una operación binaria denotada por${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$Al utilizar el conmutador como corchete de Lie, toda álgebra asociativa puede transformarse en un álgebra de Lie. Existen muchas formas diferentes de corchete de Lie , en particular la derivada de Lie y el corchete de Jacobi-Lie .

Las funciones piso y techo generalmente se escriben con corchetes izquierdo y derecho donde solo se muestran las barras horizontales inferior (para la función piso) o superior (para la función techo), como en ⌊π⌋ = 3 o ⌈π⌉ = 4. Sin embargo, los corchetes, como en [ π ] = 3 , a veces se usan para denotar la función piso , que redondea un número real hacia abajo al siguiente entero. Por el contrario, algunos autores usan corchetes que apuntan hacia afuera para denotar la función techo, como en ] π [ = 4 .

Las llaves, como en {π} < ¹ / ₇ , pueden denotar la parte fraccionaria de un número real.

• Coeficiente binomial
• polinomio de corchetes
• Notación Bra-ket
• Delimitador
• Lenguaje de Dyck
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Soporte de Iverson
• Corchete de Nijenhuis-Richardson , también conocido como corchete algebraico .
• Símbolo de Pochhammer
• corchete de Poisson
• Corchete de Schouten-Nijenhuis
• Sistema de ecuaciones