Punto de ramificación

En el campo matemático del análisis complejo , un punto de ramificación de una función multivaluada es un punto tal que si la función es multivaluada (tiene valores) en ese punto, todos sus entornos contienen un punto que tiene más de valores. ^{[ 1 ]} Las funciones multivaluadas se estudian rigurosamente utilizando superficies de Riemann , y la definición formal de puntos de ramificación emplea este concepto. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Los puntos de ramificación se dividen en tres grandes categorías: puntos de ramificación algebraicos, puntos de ramificación trascendentales y puntos de ramificación logarítmicos. Los puntos de ramificación algebraicos suelen surgir de funciones en las que existe ambigüedad en la extracción de una raíz, como al resolver la ecuación para como función de . Aquí, el punto de ramificación es el origen, porque la continuación analítica de cualquier solución alrededor de un bucle cerrado que contenga el origen dará como resultado una función diferente: existe monodromía no trivial . A pesar del punto de ramificación algebraico, la función está bien definida como una función multivaluada y, en un sentido apropiado, es continua en el origen. Esto contrasta con los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, es decir, puntos en los que una función multivaluada tiene monodromía no trivial y una singularidad esencial . En la teoría geométrica de funciones , el uso sin cualificaciones del término punto de ramificación generalmente se refiere al tipo anterior más restrictivo: los puntos de ramificación algebraicos. ^{[ 2 ]} En otras áreas del análisis complejo, el término no calificado también puede referirse a los puntos de ramificación más generales de tipo trascendental. ${\displaystyle w^{2}=z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$

Sea un conjunto abierto conexo en el plano complejo y una función holomorfa . Si no es constante, entonces el conjunto de los puntos críticos de , es decir, los ceros de la derivada , no tiene ningún punto límite en . Por lo tanto, cada punto crítico de se encuentra en el centro de un disco que no contiene ningún otro punto crítico de en su clausura. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f}$

Sea el límite de , tomado con su orientación positiva. El número de vueltas de con respecto al punto es un entero positivo llamado índice de ramificación de . Si es un punto crítico de una función analítica, entonces su índice de ramificación es mayor que 1, por lo que también se llama punto de ramificación de , y el valor crítico correspondiente se llama punto de ramificación (algebraico) . Equivalentemente, es un punto de ramificación si existe una función holomorfa definida en un entorno de tal que para entero . Esto siempre es cierto si es un punto crítico de una función analítica. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f(\gamma )}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle z_{0}}$

Normalmente, uno no está interesado en sí mismo, sino en su función inversa . Sin embargo, la inversa de una función holomorfa en la vecindad de un punto de ramificación no existe propiamente, por lo que uno se ve obligado a definirla en un sentido multivaluado como una función analítica global . Es común abusar del lenguaje y referirse a un punto de ramificación de como un punto de ramificación de la función analítica global . Son posibles definiciones más generales de puntos de ramificación para otros tipos de funciones analíticas globales multivaluadas, como aquellas que se definen implícitamente . Un marco unificador para tratar tales ejemplos se proporciona en el lenguaje de las superficies de Riemann a continuación. En particular, en esta visión más general, los polos de orden mayor que 1 también pueden considerarse puntos de ramificación. ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle w_ {0} = f (z_ {0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

En términos de la función analítica global inversa , los puntos de ramificación son aquellos puntos alrededor de los cuales existe monodromía no trivial. Por ejemplo, la función tiene un punto de ramificación en . La función inversa es la raíz cuadrada , que tiene un punto de ramificación en . De hecho, al recorrer el bucle cerrado , se comienza en y . Pero después de recorrer el bucle hasta , se tiene . Por lo tanto, existe monodromía alrededor de este bucle que encierra el origen. ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle z_{0}=0}$${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$${\displaystyle w_{0}=0}$${\displaystyle w=e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle e^{i0/2}=1}$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

Supongamos que g es una función analítica global definida en un disco perforado alrededor de _z₀ . Entonces g tiene un punto de ramificación trascendental si z₀ es una singularidad esencial de g tal que la continuación analítica de un elemento _de la función una vez alrededor de alguna curva cerrada simple que rodea el punto z₀ produce un elemento _de función diferente. ^{[ 3 ]}

Un ejemplo de punto de ramificación trascendental es el origen de la función multivaluada.

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

para algún entero k  > 1. Aquí, el grupo de monodromía para un circuito alrededor del origen es finito. La continuación analítica alrededor de k circuitos completos devuelve la función al origen.

Si el grupo de monodromía es infinito, es decir, es imposible regresar al elemento de función original mediante continuación analítica a lo largo de una curva con número de vueltas distinto de cero alrededor de z ₀ , entonces el punto z ₀ se llama punto de ramificación logarítmica . ^{[ 4 ]} Esto se llama así porque el ejemplo típico de este fenómeno es el punto de ramificación del logaritmo complejo en el origen. Al ir una vez en sentido antihorario alrededor de una curva cerrada simple que rodea el origen, el logaritmo complejo se incrementa en 2 π i . Al rodear un bucle con número de vueltas w , el logaritmo se incrementa en 2 π i w y el grupo de monodromía es el grupo cíclico infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los puntos de ramificación logarítmicos son casos especiales de puntos de ramificación trascendentales.

No existe una noción de ramificación correspondiente para los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, ya que la superficie de Riemann asociada no puede extenderse analíticamente a una cobertura del propio punto de ramificación. Por lo tanto, dichas coberturas siempre carecen de ramificación.

• 0 es un punto de ramificación de la función raíz cuadrada . Supongamos que w  =  z¹ ^/² y que z comienza en 4 y se mueve a lo largo de un círculo de radio 4 en el plano complejo centrado en 0. La variable dependiente w cambia de forma continua en función de z . Cuando z ha completado un círculo, volviendo de 4 a 4, w habrá completado medio círculo, yendo de la raíz cuadrada positiva de 4, es decir, de 2, a la raíz cuadrada negativa de 4, es decir, -2.
• 0 también es un punto de ramificación del logaritmo natural . Dado que e ⁰ es lo mismo que e ^{2 π i} , tanto 0 como 2 π i están entre los múltiples valores de ln(1). A medida que z se mueve a lo largo de un círculo de radio 1 centrado en 0, w = ln( z ) va de 0 a 2 π i .
• En trigonometría , dado que tan( π /4) y tan(5π / 4) son ambos iguales a 1, los números π /4 y 5π / 4 se encuentran entre los valores múltiples de arctan(1). Las unidades imaginarias i y −i son puntos de ramificación de la función arcotangente arctan( z ) = (1/ 2i )log[( i  −  z )/( i  +  z )]. Esto se puede observar al notar que la derivada ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z² ^{) tiene} polos simples en esos dos puntos, ya que el denominador es cero en ellos.
• Si la derivada ƒ  ' de una función ƒ tiene un polo simple en un punto a , entonces ƒ tiene un punto de ramificación logarítmica en ^a . Lo contrario no es cierto, ya que la función ƒ ( z ) = zα para α irracional tiene un punto de ramificación logarítmica, y su derivada es singular sin ser un polo.

En términos generales, los puntos de ramificación son aquellos donde convergen las distintas ramas de una función multivaluada. Las ramas de la función son las distintas ramas de la misma. Por ejemplo, la función w  =  z¹ ^/² tiene dos ramas: una donde la raíz cuadrada aparece con signo positivo y otra con signo negativo. Un corte de rama es una curva en el plano complejo tal que permite definir una única rama analítica de una función multivaluada en el plano menos dicha curva. Los cortes de rama suelen tomarse, aunque no siempre, entre pares de puntos de ramificación.

Los cortes de rama permiten trabajar con una colección de funciones de un solo valor, "unidas" a lo largo del corte de rama en lugar de una función multivaluada. Por ejemplo, para hacer la función

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

Para una función unívoca, se realiza un corte de rama a lo largo del intervalo [0, 1] en el eje real, conectando los dos puntos de ramificación de la función. La misma idea se puede aplicar a la función √ z ; pero en ese caso hay que tener en cuenta que el punto en el infinito es el otro punto de ramificación adecuado para conectar desde 0, por ejemplo, a lo largo de todo el eje real negativo.

El dispositivo de corte de rama puede parecer arbitrario (y lo es); pero es muy útil, por ejemplo, en la teoría de funciones especiales . Una explicación invariante del fenómeno de la rama se desarrolla en la teoría de superficies de Riemann (de la cual es históricamente el origen), y más generalmente en la teoría de ramificación y monodromía de funciones algebraicas y ecuaciones diferenciales .

El ejemplo típico de un corte de rama es el logaritmo complejo. Si un número complejo se representa en forma polar z  =  r e ^{i θ} , entonces el logaritmo de z es

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

Sin embargo, existe una ambigüedad evidente al definir el ángulo θ : al sumarle a θ cualquier múltiplo entero de 2π, se obtiene otro ángulo posible. Una rama del logaritmo es una función continua L ( z ) que proporciona el logaritmo de z para todo z en un conjunto abierto conexo del plano complejo. En particular, una rama del logaritmo existe en el complemento de cualquier rayo desde el origen hasta el infinito: un corte de rama . Una elección común para el corte de rama es el eje real negativo, aunque esta elección es principalmente una cuestión de conveniencia.

El logaritmo presenta una discontinuidad de salto de 2πi al cruzar la rama. Para que el logaritmo sea continuo, se pueden unir un número numerable de copias, llamadas hojas , del plano complejo a lo largo de la rama. En cada hoja, el valor del logaritmo difiere de su valor principal en un múltiplo de 2πi . Estas superficies se unen entre sí a lo largo de la rama de forma única para que el logaritmo sea continuo. Cada vez que la variable pasa por el origen, el logaritmo se mueve a una rama diferente.

Una razón por la que los cortes de rama son características comunes del análisis complejo es que un corte de rama puede pensarse como una suma de infinitos polos dispuestos a lo largo de una línea en el plano complejo con residuos infinitesimales. Por ejemplo,

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \sobre za}}$

es una función con un polo simple en z  =  a . Integrando sobre la ubicación del polo:

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over za}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

define una función u ( z ) con un corte de −1 a 1. El corte de rama se puede mover, ya que la línea de integración se puede desplazar sin alterar el valor de la integral siempre que la línea no pase por el punto z .

El concepto de punto de ramificación se define para una función holomorfa ƒ: X  →  Y desde una superficie de Riemann compacta y conexa X a una superficie de Riemann compacta Y (generalmente la esfera de Riemann ). A menos que sea constante, la función ƒ será una aplicación de recubrimiento sobre su imagen en todos los puntos, excepto en un número finito de ellos. Los puntos de X donde ƒ no es un recubrimiento son los puntos de ramificación de ƒ, y la imagen de un punto de ramificación bajo ƒ se denomina punto de ramificación.

Para cualquier punto P  ∈  X y Q  = ƒ( P ) ∈  Y , existen coordenadas locales holomorfas z para X cerca de P y w para Y cerca de Q en términos de las cuales la función ƒ( z ) viene dada por

${\displaystyle w=z^{k}}$

para algún entero k . Este entero se denomina índice de ramificación de P. Normalmente, el índice de ramificación es uno. Pero si el índice de ramificación no es igual a uno, entonces P es, por definición, un punto de ramificación y Q es un punto de bifurcación.

Si Y es simplemente la esfera de Riemann y Q está en la parte finita de Y , entonces no hay necesidad de seleccionar coordenadas especiales. El índice de ramificación se puede calcular explícitamente a partir de la fórmula integral de Cauchy . Sea γ un bucle rectificable simple en X alrededor de P. El índice de ramificación de ƒ en P es

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

Esta integral es el número de veces que ƒ(γ) da vueltas alrededor del punto Q. Como se indicó anteriormente, P es un punto de ramificación y Q es un punto de bifurcación si e _P  > 1.

En el contexto de la geometría algebraica , la noción de puntos de ramificación puede generalizarse a aplicaciones entre curvas algebraicas arbitrarias . Sea ƒ: X  →  Y un morfismo de curvas algebraicas. Al aplicar funciones racionales de Y a funciones racionales de X , K ( X ) es una extensión de cuerpo de K ( Y ). El grado de ƒ se define como el grado de esta extensión de cuerpo [ K ( X ): K ( Y )], y se dice que ƒ es finito si su grado es finito.

Supongamos que ƒ es finito. Para un punto P  ∈  X , el índice de ramificación e _P se define de la siguiente manera. Sea Q  = ƒ( P ) y sea t un parámetro de uniformización local en P ; es decir, t es una función regular definida en un entorno de Q con t ( Q ) = 0 cuyo diferencial es distinto de cero. Al retroceder t por ƒ se define una función regular en X. Entonces

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

donde v _P es la valuación en el anillo local de funciones regulares en P. Es decir, e _P es el orden al que se anula en P. Si e _P  > 1, entonces se dice que ƒ está ramificada en P. En ese caso, Q se llama punto de ramificación. ${\displaystyle t\circ f}$

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003), Variables complejas: Introducción y aplicaciones , Cambridge Texts in Applied Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53429-1
• Ahlfors, LV (1979), Análisis complejo , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000657-7
• Arfken, GB; Weber, HJ (2000), Métodos matemáticos para físicos (5.ª ed.), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052
• Markushevich, A.I. (1965), Teoría de las funciones de una variable compleja. Vol. I , Traducido y editado por Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc., MR  0171899
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Punto de ramificación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press