Teorema de Brauer sobre las formas

También está el teorema de Brauer sobre caracteres inducidos .

En matemáticas , el teorema de Brauer , que lleva el nombre de Richard Brauer , es un resultado sobre la representabilidad de 0 mediante formas sobre ciertos cuerpos en un número suficientemente grande de variables. ^{[ 1 ]}

Sea K un campo tal que para cada entero r > 0 existe un entero ψ( r ) tal que para n ≥ ψ(r) toda ecuación

${\displaystyle (*)\qquad a_{1}x_{1}^{r}+\cdots +a_{n}x_{n}^{r}=0,\quad a_{i}\in K,\quad i=1,\ldots ,n}$

tiene una solución no trivial (es decir, no todos los x _i son iguales a 0) en K. Entonces, dados los polinomios homogéneos f ₁ ,..., f _k de grados r ₁ ,..., r _k respectivamente con coeficientes en K , para cada conjunto de enteros positivos r ₁ ,..., r _k y cada entero no negativo l , existe un número ω( r ₁ ,..., r _k , l ) tal que para n ≥ ω( r ₁ ,..., r _k , l ) existe un subespacio afín l -dimensional M de K ⁿ (considerado como un espacio vectorial sobre K ) que satisface

${\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\cdots =f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\quad \forall (x_{1},\ldots ,x_{n})\in M.}$

Sea K el cuerpo de los números p-ádicos en el teorema, la ecuación (*) se satisface, ya que${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{*}/\left(\mathbb {Q} _{p}^{*}\right)^{b}}$, b un número natural, es finito. Eligiendo k = 1, se obtiene el siguiente corolario:

Una ecuación homogénea f ( x ₁ ,..., x _n ) = 0 de grado r en el campo de los números p-ádicos tiene una solución no trivial si n es suficientemente grande.

Se puede demostrar que si n es suficientemente grande según el corolario anterior, entonces n es mayor que r² ^{. De hecho} , Emil Artin conjeturó ^{[ 2 ]} que todo polinomio homogéneo de grado r sobre Qp en más de _r² variables representa 0. Esto es obviamente cierto para r = 1, y es bien sabido que la conjetura es cierta para r = 2 (véase, por ejemplo, J.-P. Serre, A Course in Arithmetic , Capítulo IV, Teorema 6). Véase el cierre cuasi-algebraico para más información.    

En 1950 Demyanov ^{[ 3 ]} verificó la conjetura para r  =  3 y p  ≠  3, y en 1952 DJ Lewis ^{[ 4 ]} demostró independientemente el caso r  =  3 para todos los primos p . Pero en 1966 Guy Terjanian construyó un polinomio homogéneo de grado 4 sobre Q ₂ en 18 variables que no tiene cero no trivial. ^{[ 5 ]} Por otro lado, el teorema de Ax-Kochen muestra que para cualquier grado fijo la conjetura de Artin es verdadera para todos excepto para un número finito de Q _p . 

• Davenport, Harold (2005). Métodos analíticos para ecuaciones y desigualdades diofánticas . Cambridge Mathematical Library. Editado y preparado por TD Browning. Con un prefacio de RC Vaughan, DR Heath-Brown y DE Freeman (2.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-60583-0. Zbl 1125.11018 .