Bremsstrahlung

En física de partículas , bremsstrahlung ( / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ; ^{[ 1 ]} alemán: [ ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ ]^La radiación de frenado (bremsstrahlungdelalemánbremsen,«frenar»ystrahlung,«radiación») esla radiación electromagnéticaproducida por ladesaceleraciónde unapartícula cargadaal ser desviada por otra partícula cargada, típicamente unelectrónpor unnúcleo atómico. La partícula en movimiento pierdeenergía cinética, que se convierte en radiación (es decir,fotones), satisfaciendo así laley de conservación de la energía. El término también se utiliza para referirse al proceso de producción de la radiación. La radiación de frenado tiene unespectro continuo, que se vuelve más intenso y cuya intensidad máxima se desplaza hacia frecuencias más altas a medida que aumenta el cambio de energía de las partículas desaceleradas.  

En términos generales, la radiación de frenado (bremsstrahlung ) es cualquier radiación producida por la aceleración (positiva o negativa) de una partícula cargada. Esto incluye la radiación sincrotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula relativista ), la radiación ciclotrónica (es decir, la emisión de fotones por una partícula no relativista) y la emisión de electrones y positrones durante la desintegración beta . La radiación de frenado también contribuye a los fenómenos subyacentes a algunos destellos de rayos gamma terrestres . Sin embargo, el término se usa frecuentemente en el sentido más estricto de radiación producida cuando los electrones (de cualquier origen) se desaceleran en la materia.

La radiación de frenado emitida por el plasma a veces se denomina radiación libre-libre ; es decir, creada por electrones que están libres (es decir, que no se encuentran en un estado ligado atómico o molecular ) antes y después de la emisión de un fotón. En la misma terminología, la radiación ligada-ligada se refiere a líneas espectrales discretas (un electrón "salta" entre dos estados ligados), mientras que la radiación libre-ligada se refiere al proceso de recombinación radiativa , en el que un electrón libre se recombina con un ion. 

Este artículo utiliza unidades del SI, junto con la carga de partícula única escalada.${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$.

Si los efectos cuánticos son despreciables, una partícula cargada acelerada irradia potencia según lo descrito por la fórmula de Larmor y su generalización relativista.

El tratamiento cuántico-mecánico completo de la radiación de frenado es muy complejo. El "caso de vacío" de la interacción de un electrón, un ion y un fotón, utilizando el potencial de Coulomb puro, tiene una solución exacta que probablemente fue publicada por primera vez por Arnold Sommerfeld en 1931. ^{[ 5 ]} Esta solución analítica implica matemáticas complejas, y se han publicado varios cálculos numéricos, como los de Karzas y Latter. ^{[ 6 ]} Se han presentado otras fórmulas aproximadas, como en trabajos recientes de Weinberg ^{[ 7 ]} y Pradler y Semmelrock. ^{[ 8 ]}

Esta sección ofrece una analogía cuántico-mecánica de la sección anterior, pero con algunas simplificaciones para ilustrar la física importante. Se trata de un tratamiento no relativista del caso especial de un electrón de masa${\displaystyle m_{\text{e}}}$, cargar${\displaystyle -e}$y velocidad inicial${\displaystyle v}$desacelerando en el campo de Coulomb de un gas de iones pesados ​​de carga${\displaystyle Ze}$y densidad numérica${\displaystyle n_{i}}$La radiación emitida es un fotón de frecuencia${\displaystyle \nu =c/\lambda }$y energía${\displaystyle h\nu }$El objetivo es encontrar la emisividad.${\displaystyle j(v,\nu )}$que es la potencia emitida por (ángulo sólido en el espacio de velocidad del fotón * frecuencia del fotón), sumada sobre ambas polarizaciones transversales del fotón. Se expresa como un resultado clásico aproximado multiplicado por el factor de Gaunt de emisión libre-libre g _ff que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y de otro tipo: $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$si${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$, es decir, el electrón no tiene suficiente energía cinética para emitir el fotón. Una fórmula general, cuántica para${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$Existe, pero es muy complicado y generalmente se determina mediante cálculos numéricos. Se pueden utilizar las siguientes suposiciones adicionales para presentar resultados aproximados:

• Interacción con el vacío: el cálculo no tiene en cuenta los efectos del medio de fondo, como los efectos de apantallamiento del plasma. Esto es razonable para frecuencias de fotones mucho mayores que la frecuencia del plasma.${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$con${\displaystyle n_{\text{e}}}$la densidad electrónica del plasma . Tenga en cuenta que las ondas de luz son evanescentes para${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$y sería necesario un enfoque significativamente diferente.
• Fotones suaves:${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$, es decir, la energía del fotón es mucho menor que la energía cinética inicial del electrón.

Con estas suposiciones, dos parámetros adimensionales caracterizan el proceso:${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$, que mide la fuerza de la interacción de Coulomb electrón-ión, y${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$, que mide la "suavidad" del fotón y que se supone siempre pequeña (la elección del factor 2 es por conveniencia posterior). En el límite${\displaystyle \eta _ {Z}\ll 1}$La aproximación cuántica de Born da como resultado: $${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

En el límite opuesto${\displaystyle \eta _ {Z}\gg 1}$, el resultado cuántico-mecánico completo se reduce al resultado puramente clásico. $${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$ dónde${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$es la constante de Euler-Mascheroni . Nótese que${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$que es una expresión puramente clásica sin la constante de Planck${\displaystyle h}$.

Una forma semiclásica y heurística de entender el factor Gaunt es escribirlo como${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$dónde${\displaystyle b_{\max }}$y${\displaystyle b_{\min }}$son los "parámetros de impacto" máximos y mínimos para la colisión electrón-ión, en presencia del campo eléctrico del fotón. Con nuestras suposiciones,${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$: para parámetros de impacto mayores, la oscilación sinusoidal del campo de fotones proporciona una "mezcla de fases" que reduce fuertemente la interacción.${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ es la mayor de las longitudes de onda de De Broglie de la mecánica cuántica${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$y la distancia clásica de aproximación más cercana${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$donde la energía potencial de Coulomb electrón-ión es comparable a la energía cinética inicial del electrón.

Las aproximaciones anteriores generalmente se aplican siempre que el argumento del logaritmo sea grande, y fallan cuando es menor que la unidad. Es decir, estas formas para el factor de Gaunt se vuelven negativas, lo cual no es físicamente posible. Una aproximación burda a los cálculos completos, con los límites de Born y clásicos apropiados, es: $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

Esta sección analiza la emisión de bremsstrahlung y el proceso de absorción inversa (denominado bremsstrahlung inverso) en un medio macroscópico. La ecuación de transferencia radiativa , que se aplica a procesos generales y no solo al bremsstrahlung, es: $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$es la intensidad espectral de la radiación, o potencia por (área  × ángulo sólido en el espacio de velocidad del fotón ×  frecuencia del fotón) sumada sobre ambas polarizaciones.${\displaystyle j_{\nu }}$es la emisividad, análoga a${\displaystyle j(v,\nu )}$definido anteriormente, y${\displaystyle k_{\nu }}$es la absortividad.${\displaystyle j_{\nu }}$y${\displaystyle k_{\nu }}$son propiedades de la materia, no de la radiación, y dan cuenta de todas las partículas en el medio, no solo de un par de un electrón y un ion como en la sección anterior. Si${\displaystyle I_{\nu }}$Si es uniforme en el espacio y el tiempo, entonces el lado izquierdo de la ecuación de transferencia es cero y, por lo tanto: $${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

Si la materia y la radiación también están en equilibrio térmico a cierta temperatura, entonces${\displaystyle I_{\nu }}$debe ser el espectro del cuerpo negro : $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$ Desde${\displaystyle j_{\nu }}$y${\displaystyle k_{\nu }}$son independientes de${\displaystyle I_{\nu }}$, esto significa que${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$debe ser el espectro de cuerpo negro siempre que la materia esté en equilibrio a alguna temperatura, independientemente del estado de la radiación. Esto nos permite conocer inmediatamente ambos${\displaystyle j_{\nu }}$y${\displaystyle k_{\nu }}$una vez que se conoce uno, para la materia en equilibrio.

NOTA : esta sección actualmente proporciona fórmulas que se aplican en el límite de Rayleigh-Jeans.${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$y no utiliza un tratamiento cuantizado (de Planck) de la radiación. Por lo tanto, un factor habitual como${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$no aparece. La apariencia de${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$en${\displaystyle y}$Lo que se muestra a continuación se debe al tratamiento cuántico-mecánico de las colisiones.

En un plasma , los electrones libres colisionan continuamente con los iones, produciendo bremsstrahlung. Un análisis completo requiere tener en cuenta tanto las colisiones binarias de Coulomb como el comportamiento colectivo (dieléctrico). Bekefi ^{[ 9 ] ofrece un tratamiento detallado, mientras que Ichimaru [ 10 ]} ofrece uno simplificado. Estos cálculos siguen el tratamiento dieléctrico de Bekefi, con las colisiones incluidas aproximadamente a través del número de onda de corte.${\displaystyle k_{\text{max}}}$.

Consideremos un plasma uniforme, con electrones térmicos distribuidos según la distribución de Maxwell-Boltzmann con la temperatura${\displaystyle T_{\text{e}}}$. Siguiendo a Bekefi, la densidad espectral de potencia (potencia por intervalo de frecuencia angular por volumen, integrada sobre todo${\displaystyle 4\pi }$sr de ángulo sólido y sumado sobre las polarizaciones) de la radiación de frenado, se calcula que es $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$ dónde${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$es la frecuencia de plasma de electrones,${\displaystyle \omega }$es la frecuencia del fotón,${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$es la densidad numérica de electrones e iones, y los demás símbolos son constantes físicas . El segundo factor entre corchetes es el índice de refracción de una onda luminosa en un plasma, y ​​muestra que la emisión se suprime en gran medida para${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$(esta es la condición de corte para una onda de luz en un plasma; en este caso la onda de luz es evanescente ). Por lo tanto, esta fórmula solo se aplica para${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$Esta fórmula debe sumarse sobre las especies iónicas en un plasma multiespecie.

La función${\displaystyle E_{1}}$es la integral exponencial y la cantidad adimensional${\displaystyle y}$es $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$es un número de onda máximo o de corte, que surge debido a colisiones binarias y puede variar con la especie de iones. Aproximadamente,${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$cuando${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$(típico en plasmas que no son demasiado fríos), donde${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$eV es la energía de Hartree y${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$es la longitud de onda térmica de De Broglie del electrón . De lo contrario,${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$dónde${\displaystyle l_{\text{C}}}$es la distancia de Coulomb clásica de máxima aproximación.

Para el caso habitual${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$, $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

La fórmula para${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$es aproximado, ya que no tiene en cuenta la emisión mejorada que se produce para${\displaystyle \omega }$ligeramente por encima${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$.

En el límite${\displaystyle y\ll 1}$,${\displaystyle E_{1}}$puede aproximarse como${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$dónde${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$es la constante de Euler-Mascheroni . El término principal, logarítmico, se usa con frecuencia y se asemeja al logaritmo de Coulomb que aparece en otros cálculos de plasma colisional. Para${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$El término logarítmico es negativo, y la aproximación es claramente inadecuada. Bekefi proporciona expresiones corregidas para el término logarítmico que coinciden con cálculos detallados de colisiones binarias.

La densidad de potencia de emisión total, integrada en todas las frecuencias, es $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }{\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}\,d\omega ={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }\left[1-{\frac {y_{\text{p}}}{y}}\right]^{1/2}E_{1}(y){\frac {dy}{y^{{1}/{2}}}}\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$y disminuye con${\displaystyle y_{\text{p}}}$; siempre es positivo. Para${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$, $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Observe la apariencia de${\displaystyle \hbar }$debido a la naturaleza cuántica de${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$. En unidades prácticas, una versión comúnmente utilizada de esta fórmula para${\displaystyle G=1}$es ^{[ 11 ]}$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

Esta fórmula es 1,59 veces la dada anteriormente, y la diferencia se debe a detalles de las colisiones binarias. Dicha ambigüedad se suele expresar introduciendo el factor de Gaunt.${\displaystyle g_{\rm {B}}}$, por ejemplo en ^{[ 12 ]} se encuentra $${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$ donde todo se expresa en unidades CGS .

correcciones relativistas

Para temperaturas muy altas hay correcciones relativistas a esta fórmula, es decir, términos adicionales del orden de${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$. ^{[ 13 ]}

La radiación de frenado polarizada (a veces denominada "radiación de frenado atómica") es la radiación emitida por los electrones atómicos del blanco cuando el átomo del blanco se polariza por el campo de Coulomb de la partícula cargada incidente. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Se han observado contribuciones de radiación de frenado polarizada al espectro total de radiación de frenado en experimentos que involucran partículas incidentes relativamente masivas, ^{[ 16 ]} procesos de resonancia, ^{[ 17 ]} y átomos libres. ^{[ 18 ]} Sin embargo, todavía existe cierto debate sobre si existen o no contribuciones significativas de radiación de frenado polarizada en experimentos que involucran electrones rápidos incidentes en blancos sólidos. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

Cabe destacar que el término "polarizacional" no implica que la radiación de frenado emitida esté polarizada. Además, la distribución angular de la radiación de frenado polarizacional es teóricamente bastante diferente a la de la radiación de frenado ordinaria. ^{[ 22 ]}

La descripción cuántica completa fue realizada por primera vez por Bethe y Heitler. ^{[ 34 ]} Asumieron ondas planas para los electrones que se dispersan en el núcleo de un átomo y derivaron una sección transversal que relaciona la geometría completa de ese proceso con la frecuencia del fotón emitido. La sección transversal cuádruplemente diferencial, que muestra una simetría cuántica con la producción de pares , es $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle Z}$es el número atómico ,${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$la constante de estructura fina ,${\displaystyle \hbar }$la constante de Planck reducida y${\displaystyle c}$la velocidad de la luz . La energía cinética${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$La energía del electrón en el estado inicial y final está relacionada con su energía total.${\displaystyle E_{i,f}}$o sus momentos${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$a través de $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa de un electrón . La conservación de la energía da $${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ dónde${\displaystyle \hbar \omega }$es la energía del fotón. Las direcciones del fotón emitido y del electrón dispersado vienen dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {k} }$es el momento del fotón.

Los diferenciales se dan como $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

El valor absoluto del fotón virtual entre el núcleo y el electrón es $${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$$

El rango de validez viene dado por la aproximación de Born. $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ donde esta relación debe cumplirse para la velocidad${\displaystyle v}$del electrón en el estado inicial y final.

Para aplicaciones prácticas (por ejemplo, en códigos de Monte Carlo ) puede ser interesante centrarse en la relación entre la frecuencia${\displaystyle \omega }$del fotón emitido y el ángulo entre este fotón y el electrón incidente. Köhn y Ebert integraron la sección transversal diferencial cuádruple de Bethe y Heitler sobre${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Theta _{f}}$y se obtuvo: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$ con $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$$

Sin embargo, se puede encontrar una expresión mucho más simple para la misma integral en ^{[ 36 ]} (Ec. 2BN) y en ^{[ 37 ]} (Ec. 4.1).

Un análisis de la sección transversal doblemente diferencial anterior muestra que los electrones cuya energía cinética es mayor que la energía en reposo (511  keV) emiten fotones en dirección hacia adelante, mientras que los electrones con una energía pequeña emiten fotones isotrópicamente.

Un mecanismo, considerado importante para números atómicos pequeños${\displaystyle Z}$, es la dispersión de un electrón libre en los electrones de la capa de un átomo o molécula. ^{[ 38 ]} Dado que la bremsstrahlung electrón-electrón es una función de${\displaystyle Z}$y la bremsstrahlung habitual del núcleo del electrón es una función de${\displaystyle Z^{2}}$La radiación de frenado electrón -electrón es insignificante para los metales. Sin embargo, para el aire, desempeña un papel importante en la producción de destellos de rayos gamma terrestres . ^{[ 39 ]}