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En el campo matemático de la teoría de nudos , el número de puente , también llamado índice de puente , es un invariante de un nudo definido como el número mínimo de puentes requeridos en todas las posibles representaciones de puente de un nudo.
Definición
Dado un nudo o un eslabón, dibuje un diagrama del eslabón utilizando la convención de que un hueco en la línea denota un cruce inferior. Llamemos puente a un arco continuo en este diagrama si incluye al menos un cruce superior. Entonces, el número de puente de un nudo se puede encontrar como el número mínimo de puentes requeridos para cualquier diagrama del nudo. [1] Los números de puente fueron estudiados por primera vez en la década de 1950 por Horst Schubert . [2] [3]
El número de puente se puede definir de forma equivalente geométricamente en lugar de topológicamente . En la representación de puentes, un nudo se encuentra completamente en el plano, salvo para un número finito de puentes cuyas proyecciones sobre el plano son líneas rectas. De forma equivalente, el número de puente es el número mínimo de máximos locales de la proyección del nudo sobre un vector, donde minimizamos sobre todas las proyecciones y sobre todas las conformaciones del nudo. En este contexto, el número de puente se suele denominar tortuosidad .
Propiedades
Todo nudo no trivial tiene un número de puente de al menos dos, [1] por lo que los nudos que minimizan el número de puente (aparte del nudo no trivial ) son los nudos de 2 puentes . Se puede demostrar que todo nudo de n puentes se puede descomponer en dos n enredos triviales y, por lo tanto, los nudos de 2 puentes son nudos racionales .
Si K es la suma conexa de K 1 y K 2 , entonces el número de puente de K es uno menos que la suma de los números de puente de K 1 y K 2 . [4]
Otros invariantes numéricos
Referencias
- ^ ab Adams, Colin C. (1994), El libro de los nudos, American Mathematical Society, pág. 65, ISBN 9780821886137.
- ^ Schultens, Jennifer (2014), Introducción a las 3-variedades , Graduate Studies in Mathematics , vol. 151, American Mathematical Society, Providence, RI, pág. 129, ISBN 978-1-4704-1020-9, Sr. 3203728.
- ^ Schubert, Horst (diciembre de 1954). "Über eine numerische Knoteninvariante". Mathematische Zeitschrift . 61 (1): 245–288. doi :10.1007/BF01181346.
- ^ Schultens, Jennifer (2003), "Aditividad de los números puente de nudos", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 135 (3): 539–544, arXiv : math/0111032 , Bibcode :2003MPCPS.135..539S, doi :10.1017/S0305004103006832, MR 2018265.
Lectura adicional
- Cromwell, Peter (1994). Nudos y eslabones . Cambridge. ISBN 9780521548311 .