Teorema de representabilidad de Brown

En matemáticas, el teorema de representabilidad de Brown en la teoría de homotopía ^{[ 1 ]} da condiciones necesarias y suficientes para que un functor contravariante F en la categoría de homotopía Hotc de complejos CW conexos apuntados , a la categoría de conjuntos Set , sea un functor representable .

Más específicamente, se nos da

F : Hotc ^op → Set ,

y existen ciertas condiciones obviamente necesarias para que F sea de tipo Hom ( — , C ), donde C es un complejo CW conexo con punto base que puede deducirse únicamente de la teoría de categorías . El enunciado de la parte sustantiva del teorema es que estas condiciones necesarias son entonces suficientes. Por razones técnicas, el teorema se suele enunciar para functores de la categoría de conjuntos con punto base ; en otras palabras, a los conjuntos también se les da un punto base.

El teorema se debe a Edgar H. Brown, quien lo publicó en 1962. ^{[ 2 ]}

Supongamos que:

1. El functor F: Hotc ^op → Set asigna coproductos (es decir, sumas de cuñas ) en Hotc a productos en Set :${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. El functor F mapea empujes homotópicos en Hotc a retrocesos débiles . Esto se suele enunciar como un axioma de Mayer-Vietoris : para cualquier complejo CW W cubierto por dos subcomplejos U y V , y cualesquiera elementos u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) tales que u y v se restringen al mismo elemento de F ( U ∩ V ), existe un elemento w ∈ F ( W ) que se restringe a u y v , respectivamente.

Entonces F es representable por algún complejo CW C , es decir, existe un isomorfismo.

F ( Z ) ≅ Hom _Hotc ( Z , C )

para cualquier complejo CW Z , lo cual es natural en Z ya que para cualquier morfismo de Z a otro complejo CW Y los mapas inducidos F ( Y ) → F ( Z ) y Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) son compatibles con estos isomorfismos.

La afirmación recíproca también es válida: cualquier functor representado por un complejo CW satisface las dos propiedades anteriores. Esta dirección es una consecuencia inmediata de la teoría de categorías básica, por lo que la parte más profunda e interesante de la equivalencia reside en la otra implicación.

Se puede demostrar que el objeto representativo C anterior depende funtorialmente de F : cualquier transformación natural de F a otro functor que satisfaga las condiciones del teorema induce necesariamente una aplicación de los objetos representativos. Esto es consecuencia del lema de Yoneda .

Si F ( X ) es el grupo de cohomología singular Hᵢ ( X , A ) con coeficientes en un grupo abeliano A dado , para i > 0 fijo, entonces el espacio que representa a F es el espacio de Eilenberg-MacLane ^K ( A , i ) . Esto proporciona un medio para demostrar la existencia de espacios de Eilenberg-MacLane.

Dado que la categoría de homotopía de los complejos CW es equivalente a la localización de la categoría de todos los espacios topológicos en las equivalencias de homotopía débiles , el teorema puede enunciarse de forma equivalente para functores en una categoría definida de esta manera.

Sin embargo, el teorema es falso sin la restricción a espacios conexos con punto, y una afirmación análoga para espacios sin punto también es falsa. ^{[ 3 ]}

Sin embargo, una afirmación similar se aplica a los espectros en lugar de a los complejos CW. Brown también demostró una versión categórica general del teorema de representabilidad, ^{[ 4 ]} que incluye tanto la versión para complejos CW conectados con punto como la versión para espectros.

Una versión del teorema de representabilidad en el caso de categorías trianguladas se debe a Amnon Neeman . ^{[ 5 ]} Junto con la observación anterior, proporciona un criterio para que un functor (covariante) F : C → D entre categorías trianguladas que satisfacen ciertas condiciones técnicas tenga un functor adjunto derecho . Es decir, si C y D son categorías trianguladas con C generada de forma compacta y F un functor triangulado que conmuta con sumas directas arbitrarias, entonces F tiene un adjunto derecho. Neeman ha aplicado esto para demostrar el teorema de dualidad de Grothendieck en geometría algebraica.

Jacob Lurie ha demostrado una versión del teorema de representabilidad de Brown ^{[ 6 ]} para la categoría de homotopía de una cuasicategoría con un conjunto compacto de generadores que son objetos de cogrupo en la categoría de homotopía. Por ejemplo, esto se aplica a la categoría de homotopía de complejos CW conexos con puntos, así como a la categoría derivada no acotada de una categoría abeliana de Grothendieck (en vista del refinamiento categórico superior de la categoría derivada realizado por Lurie).