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Articulo de referencia

El problema de Brocard

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Problema sin resolver en matemáticas
Hacenorte¡+1=metro2{\displaystyle n!+1=m^{2}}tienen soluciones enteras distintas denorte=4,5,7{\displaystyle n=4,5,7}¿
Más problemas sin resolver en matemáticas

El problema de Brocard es un problema matemático que busca valores enteros denorte{\displaystyle n}de tal manera quenorte¡+1{\displaystyle n!+1}es un cuadrado perfecto, dondenorte¡{\displaystyle n!}es el factorial . Solo tres valores denorte{\displaystyle n}Se conocen 4 , 5 y 7 , y se desconoce si existen más. Aunque la investigación se ha extendido mucho más allá de n > 7, no se conocen soluciones adicionales para la ecuación n! + 1 = m 2 .

De forma más formal, busca pares de números enteros.norte{\displaystyle n}ymetro{\displaystyle m}de tal manera quenorte¡+1=metro2.{\displaystyle n!+1=m^{2}.}El problema fue planteado por Henri Brocard en un par de artículos en 1876 y 1885, [ 1 ] [ 2 ] e independientemente en 1913 por Srinivasa Ramanujan . [ 3 ]

Números marrones

Pares de los números(norte,metro){\displaystyle (n,m)}Los números que resuelven el problema de Brocard fueron denominados números de Brown por Clifford A. Pickover en su libro de 1995, Keys to Infinity , después de conocer el problema gracias a Kevin S. Brown. [ 4 ] Hasta octubre de 2022, solo se conocen tres pares de números de Brown:

(4,5), (5,11) y (7,71),

basado en las igualdades

4! + 1 = 5 2 = 25,
5! + 1 = 11 2 = 121, y
7! + 1 = 71 2 = 5041.

Paul Erdős conjeturó que no existen otras soluciones. [ 5 ] Las búsquedas computacionales no han encontrado más soluciones connorte≤1015{\displaystyle n\leq 10^{15}}. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Conexión con la conjetura abc

De la conjetura abc se desprende que solo hay un número finito de números de Brown. [ 9 ] De manera más general, también se desprende de la conjetura abc que norte¡+A=k2{\displaystyle n!+A=k^{2}} tiene solo un número finito de soluciones, para cualquier entero dadoA{\displaystyle A}, [ 10 ] y que norte¡=PAG(incógnita){\displaystyle n!=P(x)} tiene solo un número finito de soluciones enteras, para cualquier polinomio dadoPAG(incógnita){\displaystyle P(x)}de grado al menos 2 con coeficientes enteros. [ 11 ]

Referencias

  1. ^ Brocard, H. (1876), "Pregunta 166", Nouv. Corres. Matemáticas. , 2 : 287
  2. ^ Brocard, H. (1885), "Pregunta 1532", Nouv. Ana. Matemáticas. , 4 : 391
  3. ↑ Ramanujan, Srinivasa (2000), "Pregunta 469" , en Hardy, GH ; Aiyar, PV Seshu; Wilson, BM (eds.), Obras completas de Srinivasa Ramanujan , Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, pág. 327, ISBN  0-8218-2076-1, MR 2280843 
  4. ↑ Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity , John Wiley & Sons, pág. 170 
  5. ↑ Erdős, Paul (1963), "Quelques problèmes de la théorie des nombres" (PDF) , en Chabauty, C.; Châtelet, A.; Châtelet, F.; Descombes, R.; Pisot, C.; Poitou, G. (eds.), Introducción a la théorie des nombres , Monographies de l'Enseignement Mathématique (en francés), vol. 6, Universidad de Ginebra, págs. 81-135  ; véase problema 67, pág. 129
  6. ↑ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "Sobre la ecuación diofántica de Brocard-Ramanujan n ! + 1 = m 2 " (PDF) , Ramanujan Journal , 4 (1): 41– 42, doi : 10.1023/A:1009873805276 , MR 1754629 , S2CID 119711158 , archivado del original (PDF) el 3 de julio de 2017  
  7. ↑ Matson, Robert (2017), "Búsqueda de la cuarta solución del problema de Brocard utilizando residuos cuadráticos" (PDF) , Problemas sin resolver en teoría de números, lógica y criptografía , archivado del original (PDF) el 6 de octubre de 2018 , consultado el 7 de mayo de 2017 .
  8. ↑ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), Repositorio de GitHub de C++ Brocard
  9. ↑ Overholt, Marius (1993), "La ecuación diofántica n ! + 1 = m 2 ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 25 (2): 104, doi : 10.1112/blms/25.2.104 , MR 1204060 
  10. ^ Dąbrowski, Andrzej (1996), "Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y 2 ", Nieuw Archief voor Wiskunde , 14 (3): 321– 324, MR 1430045 
  11. ↑ Luca, Florian (2002), "La ecuación diofántica P ( x ) = n ! y un resultado de M. Overholt" (PDF) , Glasnik Matematički , 37(57) (2): 269– 273, MR 1951531 

Lecturas adicionales

  • Guy, RK (2004), "D25: Ecuaciones que involucran factorialnorte{\displaystyle n}", Problemas sin resolver en teoría de números ( 3.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 301–302 
  • Makki Naciri, Abderrahim (2024), "Sobre la variante Q(n!)=P(x) de la ecuación diofantina de Brocard-Ramanujan". , Diario Ramanujan , 65 (2): 1791–1798 , doi : 10.1007/s11139-024-00960-0
  • Weisstein, Eric W. , " El problema de Brocard " (" Números marrones ") en MathWorld .
  • Copeland, Ed, "Números marrones" , Numberphile , Brady Haran , archivado del original el 9 de noviembre de 2014 , recuperado el 6 de abril de 2013.