lámina browniana

En matemáticas , una lámina browniana o movimiento browniano multiparamétrico es una generalización multiparamétrica del movimiento browniano a un campo aleatorio gaussiano . Esto significa que generalizamos el parámetro "tiempo".${\displaystyle t}$de un movimiento browniano${\displaystyle B_{t}}$de${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$a${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$.

La dimensión exacta${\displaystyle n}$del espacio del nuevo parámetro de tiempo varía según los autores. Seguimos a John B. Walsh y definimos el${\displaystyle (n,d)}$-lámina browniana, mientras que algunos autores definen la lámina browniana específicamente solo para${\displaystyle n=2}$, lo que llamamos el${\displaystyle (2,d)}$-Lámina browniana. ^{[ 1 ]}

Esta definición se debe a Nikolai Chentsov , aunque existe una versión ligeramente diferente debida a Paul Lévy .

A${\displaystyle d}$proceso gaussiano dimensional${\displaystyle B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})}$se llama un${\displaystyle (n,d)}$-Hoja browniana si

• tiene media cero, es decir${\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$a pesar de${\displaystyle t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• para la función de covarianza

${\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{si }}i=j,\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

para${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$. ^{[ 2 ]}

Considere el espacio${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$de funciones continuas de la forma${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$satisfactorio $${\displaystyle \lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.}$$ Este espacio se convierte en un espacio Banach separable cuando se equipa con la norma. $${\displaystyle \|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.}$$

Nótese que este espacio incluye densamente el espacio de cero en el infinito.${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$equipado con la norma uniforme , puesto que se puede acotar la norma uniforme con la norma de${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$desde arriba a través del teorema de inversión de Fourier .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$Sea el espacio de distribuciones temperadas . Entonces se puede demostrar que existe un espacio de Hilbert separable adecuado (y un espacio de Sobolev ).

${\displaystyle H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

que está continuamente incrustado como un subespacio denso en${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$y por lo tanto también en${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$y que existe una medida de probabilidad${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$de tal manera que el triple $${\displaystyle (H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )}$$ es un espacio de Wiener abstracto .

Un camino${\displaystyle \theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$es${\displaystyle \omega }$-casi seguro

• Hölder continuo de exponente${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$
• en ninguna parte Hölder continuo para cualquier${\displaystyle \alpha >1/2}$. ^{[ 4 ]}

Esto maneja una lámina browniana en el caso${\displaystyle d=1}$Para dimensiones superiores${\displaystyle d}$La construcción es similar.

• campo libre gaussiano

• Stroock, Daniel (2011), Teoría de la probabilidad: una perspectiva analítica (2.ª  ed.), Cambridge.
• Walsh, John B. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas . Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-39781-6.
• Khoshnevisan, Davar. Procesos multiparamétricos: Una introducción a los campos aleatorios . Springer. ISBN 978-0387954592.