Orden de Bruhat

En matemáticas, el orden de Bruhat (también llamado orden fuerte , orden de Bruhat fuerte , orden de Chevalley , orden de Bruhat-Chevalley u orden de Chevalley-Bruhat ) es un orden parcial en los elementos de un grupo de Coxeter , que corresponde al orden de inclusión en las variedades de Schubert .

El orden de Bruhat en las variedades de Schubert de una variedad de banderas o una grassmanniana fue estudiado por primera vez por Ehresmann (1934) , y el análogo para grupos algebraicos semisimples más generales fue estudiado por Claude Chevalley en un manuscrito inédito de 1958, que no se publicó hasta 1994. ^{[ 1 ]} Verma (1968) comenzó el estudio combinatorio del orden de Bruhat en el grupo de Weyl , e introdujo el nombre "orden de Bruhat" debido a la relación con la descomposición de Bruhat introducida por François Bruhat .

Los ordenamientos débiles de Bruhat izquierdo y derecho fueron estudiados por Björner ( 1984 ) . 

Si ( W , S ) es un sistema de Coxeter con generadores S , entonces el orden de Bruhat es un orden parcial en el grupo W. La definición del orden de Bruhat se basa en varias definiciones previas: primero, una palabra reducida para un elemento w de W es una expresión de longitud mínima de w como producto de elementos de S , y la longitud ℓ ( w ) de w es la longitud de sus palabras reducidas. Entonces, el orden de Bruhat (fuerte) se define como u ≤ v si alguna subcadena de alguna (o todas) las palabras reducidas para v es una palabra reducida para u . (Aquí una subcadena no es necesariamente una subcadena consecutiva). 

Existen otros dos pedidos parciales relacionados:

• El orden débil izquierdo (Bruhat) se define por u ≤ _L v si alguna subcadena final de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u y 
• El orden débil derecho (Bruhat) se define por u ≤ _R v si alguna subcadena inicial de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u . 

Para obtener más información sobre los órdenes débiles, consulte el artículo Orden débil de permutaciones .

El grafo de Bruhat es un grafo dirigido relacionado con el orden de Bruhat (fuerte). El conjunto de vértices es el conjunto de elementos del grupo de Coxeter y el conjunto de aristas consta de aristas dirigidas ( u , v ) siempre que u = tv para alguna reflexión t y ℓ ( u ) < ℓ ( v ) . Se puede visualizar el grafo como un grafo dirigido con etiquetas en las aristas, las cuales provienen del conjunto de reflexiones. (También se podría definir el grafo de Bruhat mediante la multiplicación por la derecha; como grafos, los objetos resultantes son isomorfos, pero las etiquetas de las aristas son diferentes).

El orden fuerte de Bruhat en el grupo simétrico (permutaciones) tiene una función de Möbius dada por${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}}$y por lo tanto este poset es euleriano , lo que significa que su función de Möbius se produce mediante la función de rango en el poset.

• Polinomio de Kazhdan-Lusztig

• Björner, Anders (1984), "Ordenaciones de grupos de Coxeter" , en Greene, Curtis (ed.), Combinatoria y álgebra (Boulder, Colorado, 1983) , Contemp. Math., vol.  34, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , pp. 175–195 , ISBN  978-0-8218-5029-9, SR 0777701 
• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos de Coxeter , Textos de Graduado en Matemáticas, vol.  231, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27596-7 , ISBN 978-3-540-44238-7, MR 2133266 
• Chevalley, C. (1994), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B", en Haboush, William J.; Parshall, Brian J. (eds.), Grupos algebraicos y sus generalizaciones: métodos clásicos (University Park, PA, 1991) , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol.  56, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 1 a 23, ISBN  978-0-8218-1540-3, MR 1278698 
• Ehresmann, Charles (1934), "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes" , Anales de Matemáticas , Segunda Serie (en francés), 35 (2), Anales de Matemáticas: 396– 443, doi : 10.2307/1968440 , ISSN 0003-486X , JFM 60.1223.05 , JSTOR 1968440   
• Verma, Daya-Nand (1968), "Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie semisimples complejas", Bulletin of the American Mathematical Society , 74 : 160–166 , doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN 0002-9904 , MR 0218417