Teorema de Brun

En teoría de números , el teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (pares de números primos que difieren en 2) converge a un valor finito conocido como constante de Brun , generalmente denotada por B₂ (secuencia A065421 en la OEIS ) . El teorema de Brun fue demostrado por Viggo Brun en 1919 y tiene importancia histórica en la introducción de los métodos _de cribado .

La convergencia de la suma de los recíprocos de primos gemelos se deduce de las cotas de la densidad de la sucesión de primos gemelos. Sea${\displaystyle \pi _{2}(x)}$denotemos el número de primos p ≤ x para los cuales p + 2 también es primo (es decir,${\displaystyle \pi _{2}(x)}$es el número de primos gemelos con el menor como máximo x ). Entonces, tenemos

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

Es decir, los primos gemelos son menos frecuentes que los números primos por un factor casi logarítmico. Esta cota da la intuición de que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, o dicho de otro modo, los primos gemelos forman un conjunto pequeño . En términos explícitos, la suma

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

o bien tiene un número finito de términos o bien tiene un número infinito de términos pero es convergente: su valor se conoce como la constante de Brun.

Si la suma divergiera, esto implicaría que existen infinitos primos gemelos. Dado que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, no es posible concluir de este resultado que existan un número finito o infinito de primos gemelos. La constante de Brun solo podría ser un número irracional si existieran infinitos primos gemelos.

La serie converge extremadamente lento. Thomas Nicely señala que después de sumar los primeros mil millones (10⁹ ⁾ de términos, el error relativo sigue siendo superior al 5%. ^{[ 1 ]}

Calculando los primos gemelos hasta ^10¹⁴ (y descubriendo el error FDIV del Pentium en el proceso), Nicely estimó heurísticamente que la constante de Brun era 1,902160578. ^{[ 1 ]} Nicely ha extendido su cálculo a 1,6 × 10¹⁵ a fecha de 18 de enero de 2010, pero no se trata del cálculo más grande de este tipo.

En 2002, Pascal Sebah y Patrick Demichel utilizaron todos los primos gemelos hasta 10 ¹⁶ para dar la estimación ^{[ 2 ]} de que B ₂  ≈  1.902160583104. Por lo tanto,

El último se basa en la extrapolación de la suma 1,830484424658... para los primos gemelos menores de 10 ¹⁶ . Dominic Klyve demostró condicionalmente (en una tesis no publicada) que B ₂  <  2,1754, asumiendo la hipótesis de Riemann extendida . Luego, en 2025, Lachlan Dunn demostró que B ₂  <  2,1609, asumiendo la hipótesis de Riemann generalizada. ^{[ 3 ]} Richard Crandall y Carl Pomerance han demostrado incondicionalmente que B ₂  <  2,347. ^{[ 4 ]}

También existe una constante de Brun para cuartetos primos . Un cuarteto primo es un par de pares primos gemelos, separados por una distancia de 4 (la distancia más pequeña posible). Los primeros cuartetos primos son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun para cuartetos primos, denotada por B₄ , es la suma de los recíprocos de todos los cuartetos primos _:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

con valor:

B ₄  = 0,870 588 3800  ± 0,000 000 0005 , el rango de error tiene un nivel de confianza del 99% según Nicely. ^{[ 1 ]}

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , como pares primos de la forma ( p , p + 4), que también se escribe como B _4. Wolf derivó una estimación para las sumas de tipo Brun B _n de 4/ n .    

Dejar${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$(secuencia A005597 en el OEIS ) sea la constante prima gemela . Entonces se conjetura que

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

En particular,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$y todos los x suficientemente grandes .

Se han demostrado muchos casos especiales de lo anterior. Jie Wu demostró que para x suficientemente grande ,

${\displaystyle \pi _{2}(x)\leq 3.3996\cdot 2C_{2}\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

• Divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos
• Constante de Meissel-Mertens

• Weisstein, Eric W. "La constante de Brun" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Brun" . MundoMatemático .
• La constante de Brun en PlanetMath .
• Sebah, Pascal y Xavier Gourdon, Introducción a los números primos gemelos y al cálculo de la constante de Brun , 2002. Un examen detallado moderno.
• Artículo de Wolf sobre sumas tipo Brun