Buddhabrot

El Buddhabrot es la distribución de probabilidad sobre las trayectorias de los puntos que escapan del fractal de Mandelbrot . Su nombre refleja su parecido pareidólico con las representaciones clásicas de Gautama Buddha , sentado en postura de meditación con una marca en la frente ( tika ), una corona ovalada tradicional ( ushnisha ) y un rizo en el cabello.

La técnica de representación Buddhabrot fue descubierta por Melinda Green, ^{[ 1 ]} quien posteriormente la describió en una publicación de Usenet de 1993 en sci.fractals. ^{[ 2 ]}

Investigadores anteriores estuvieron muy cerca de descubrir el Buddhabrot. En 1988, Linas Vepstas transmitió imágenes similares ^{[ 3 ]} a Cliff Pickover para su inclusión en el libro de Pickover, entonces de próxima publicación, Computers, Pattern, Chaos, and Beauty . Esto condujo directamente al descubrimiento de los tallos de Pickover . Noel Griffin también implementó esta idea en la opción "Mandelcloud" de 1993 en el renderizador Fractint . Sin embargo, estos investigadores no filtraron las trayectorias que no escapaban, por lo que las imágenes resultantes no son Buddhabrots.

Green fue el primero en llamar a este patrón Ganesh, ya que un compañero de trabajo indio "lo reconoció al instante como el dios ' Ganesha ', que es el que tiene cabeza de elefante". ^{[ 2 ]} El nombre Buddhabrot fue acuñado más tarde por Lori Gardi. ^{[ 4 ]}

Matemáticamente, el conjunto de Mandelbrot consta del conjunto de puntos${\displaystyle c}$en el plano complejo para el cual la secuencia definida iterativamente

$${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$$

no tiende al infinito como${\displaystyle n}$va hasta el infinito para${\displaystyle z_{0}=0}$.

La imagen Buddhabrot se puede construir creando primero una matriz bidimensional de cajas, cada una correspondiente a un píxel final de la imagen. Cada caja${\displaystyle (i,j)}$para${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$y${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$tiene tamaño en coordenadas complejas de${\displaystyle \Delta x}$y${\displaystyle \Delta y}$, dónde${\displaystyle \Delta x=w/m}$y${\displaystyle \Delta y=h/n}$para una imagen de ancho${\displaystyle w}$y altura${\displaystyle h}$. Para cada caja, se inicializa a cero un contador correspondiente. A continuación, se realiza un muestreo aleatorio de${\displaystyle c}$Los puntos se iteran a través de la función de Mandelbrot. Para los puntos que escapan dentro de un número máximo de iteraciones elegido, y por lo tanto no están en el conjunto de Mandelbrot, el contador para cada casilla ingresada durante el escape al infinito se incrementa en 1. En otras palabras, para cada secuencia correspondiente a${\displaystyle c}$que escapa, por cada punto${\displaystyle z_{n}}$durante la fuga, la caja que${\displaystyle ({\text{Re}}(z_{n}),{\text{Im}}(z_{n}))}$se encuentra dentro se incrementa en 1. Los puntos que no escapan dentro del número máximo de iteraciones (y se consideran en el conjunto de Mandelbrot) se descartan. Después de un gran número de${\displaystyle c}$Se han iterado los valores y luego se eligen los tonos de escala de grises en función de la distribución de los valores registrados en la matriz. El resultado es un gráfico de densidad que resalta las regiones donde${\displaystyle z_{n}}$Los valores pasan la mayor parte del tiempo en su camino hacia el infinito. Al invertir el filtro, de modo que solo los puntos que no escapan contribuyan a la imagen, se crean imágenes de un "Anti-Buddhabrot", que es similar a no aplicar ningún filtro.

La renderización de imágenes Buddhabrot suele ser computacionalmente más intensiva que las técnicas estándar de renderización Mandelbrot. Esto se debe en parte a que se requiere iterar más puntos aleatorios que píxeles en la imagen para construir una imagen nítida. La renderización de áreas con mucho zoom requiere aún más computación que para las imágenes Mandelbrot estándar en las que un píxel dado se puede calcular directamente independientemente del nivel de zoom. Por el contrario, un píxel en una región ampliada de una imagen Buddhabrot puede verse afectado por puntos iniciales de regiones muy alejadas de la que se está renderizando. Sin recurrir a técnicas probabilísticas más complejas, ^{[ 5 ]} la renderización de porciones ampliadas de Buddhabrot consiste simplemente en recortar una renderización grande de tamaño completo.

El número máximo de iteraciones elegido afecta a la imagen  : valores más altos dan una apariencia más dispersa y detallada, ya que algunos puntos pasan por un gran número de píxeles antes de escapar, lo que hace que sus trayectorias sean más prominentes. Si se utilizara un máximo menor, estos puntos no escaparían a tiempo y se consideraría que no escapan en absoluto. El número de muestras elegido también afecta a la imagen, ya que un mayor número de muestras no solo reduce el ruido de la imagen, sino que también puede reducir la visibilidad de puntos que se mueven lentamente y pequeños atractores, que pueden aparecer como rayas visibles en una representación con un número menor de muestras. Algunas de estas rayas son visibles en la imagen de 1.000.000 de iteraciones que se muestra a continuación. Algunas personas incluso pueden incluir un número mínimo de iteraciones, donde una muestra determinada solo se utiliza si no escapa antes de un número determinado de iteraciones, para generar más de estos detalles intrincados.

Más tarde, Green se dio cuenta de que esto proporcionaba una forma natural de crear imágenes Buddhabrot en color tomando tres imágenes en escala de grises , que solo diferían en el número máximo de iteraciones utilizadas, y combinándolas en una sola imagen en color mediante el mismo método que utilizan los astrónomos para crear imágenes en falso color de nebulosas y otros objetos celestes. Por ejemplo, se podría asignar una imagen con un máximo de 2000 iteraciones al canal rojo, una imagen con un máximo de 200 iteraciones al canal verde y una imagen con un máximo de 20 iteraciones al canal azul de una imagen en el espacio de color RGB . Algunos han denominado a las imágenes Buddhabrot que utilizan esta técnica como Nebulabrots .

Número máximo de iteraciones: 20

Número máximo de iteraciones: 100

Número máximo de iteraciones: 1.000

Número máximo de iteraciones: 20.000

Número máximo de iteraciones: 1.000.000

La relación entre el conjunto de Mandelbrot tal como se define por la iteración${\displaystyle z^{2}+c}$y el mapa logístico${\displaystyle \lambda x(1-x)}$Es bien sabido. Ambos están relacionados por la transformación cuadrática:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{r}&={\frac {\lambda (2-\lambda )}{4}}\\c_{i}&=0\\z_{r}&=-{\frac {\lambda (2x-1)}{2}}\\z_{i}&=0\end{aligned}}}$$

La forma tradicional de ilustrar esta relación es alineando el mapa logístico y el conjunto de Mandelbrot a través de la relación entre${\displaystyle c_{r}}$y${\displaystyle \lambda }$, utilizando un eje x común y un eje y diferente, mostrando una relación unidimensional.

Melinda Green descubrió que el paradigma Anti-Buddhabrot integra completamente el mapa logístico. Ambos se basan en el trazado de rutas desde puntos que no escapan, iteradas desde un punto de partida (aleatorio), y las funciones de iteración están relacionadas por la transformación dada anteriormente. Entonces es fácil ver que el Anti-Buddhabrot para${\displaystyle z^{2}+c}$trazando rutas con${\displaystyle c=({\text{aleatorio}},0)}$y${\displaystyle z_{0}=(0,0)}$, simplemente genera el mapa logístico en el plano${\displaystyle \{c_{r},z_{r}\}}$, al utilizar la transformación dada. Para fines de representación utilizamos${\displaystyle z_{0}=({\text{aleatorio}},0)}$. En el mapa logístico, todos${\displaystyle z_{r0}}$en última instancia, generan el mismo camino.

Dado que tanto el conjunto de Mandelbrot como el mapa logístico son parte integral del Anti-Buddhabrot, ahora podemos mostrar una relación 3D entre ambos, utilizando los ejes 3D. ${\displaystyle \{c_{r},c_{i},z_{r}\}}$La animación muestra el clásico Anti-Buddhabrot con${\displaystyle c=({\text{aleatorio}},{\text{aleatorio}})}$y${\displaystyle z_{0}=(0,0)}$, este es el conjunto de Mandelbrot 2D en el plano ${\displaystyle \{c_{r},c_{i}\}}$y también el Anti-Buddhabrot con${\displaystyle c=({\text{aleatorio}},0)}$y${\displaystyle z_{0}=(0,0)}$Este es el mapa logístico 2D en el plano.${\displaystyle \{c_{r},z_{r}\}}$. Rotamos el plano${\displaystyle \{c_{i},z_{r}\}}$alrededor del${\displaystyle c_{r}}$eje, mostrando primero${\displaystyle \{c_{r},c_{i}\}}$, luego girando 90° para mostrar${\displaystyle \{c_{r},z_{r}\}}$, luego girando 90° adicionales para mostrar${\displaystyle \{c_{r},-c_{i}\}}$Podríamos rotar 180° adicionales, pero esto da las mismas imágenes, reflejadas alrededor del${\displaystyle c_{r}}$-eje.

El mapa logístico Anti-Buddhabrot es, de hecho, un subconjunto del clásico Anti-Buddhabrot, situado en el plano${\displaystyle \{c_{r},z_{r}\}}$(o${\displaystyle c_{i}=0}$) de 3D${\displaystyle \{c_{r},c_{i},z_{r}\}}$, perpendicular al plano${\displaystyle \{c_{r},c_{i}\}}$. Hacemos hincapié en esto mostrando brevemente, con una rotación de 90°, solo el plano proyectado.${\displaystyle c_{i}=0}$, no 'perturbado' por las proyecciones de los planos con distinto de cero${\displaystyle c_{i}}$.

• Lobo, Albert. "Conozca la técnica Buddhabrot" . Densidad molecular . Archivado del original el 3 de septiembre de 2018. Consultado el 21 de noviembre de 2011 .
• Mathologer (4 de marzo de 2016). "El lado oscuro del conjunto de Mandelbrot" . YouTube . Archivado del original el 22 de diciembre de 2021.