Fideos de Buffon

En probabilidad geométrica , el problema del fideo de Buffon es una variación del conocido problema de la aguja de Buffon , que recibe su nombre de Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, quien vivió en el siglo XVIII. Este enfoque del problema fue publicado por Joseph-Émile Barbier en 1860. ^{[ 1 ]}

Supongamos que existen infinitas líneas horizontales paralelas igualmente espaciadas, y que lanzamos al azar una aguja cuya longitud es menor o igual a la distancia entre líneas adyacentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja caiga sobre una de las líneas?

Para resolver este problema, dejemos${\displaystyle \ell }$sea ​​la longitud de la aguja y${\displaystyle D}$Sea la distancia entre dos líneas adyacentes. Entonces, sea${\displaystyle \theta }$sea ​​el ángulo agudo que forma la aguja con la horizontal, y dejemos que${\displaystyle x}$sea ​​la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea más cercana.

La aguja se encuentra sobre la línea más cercana si y solo si${\displaystyle x\leq {\frac {\ell \sin \theta }{2}}}$. Vemos esta condición a partir del triángulo rectángulo formado por la aguja, la línea más cercana y la línea de longitud${\displaystyle x}$cuando la aguja se encuentra sobre la línea más cercana.

Ahora, asumimos que los valores de${\displaystyle x,\theta }$se determinan aleatoriamente cuando aterrizan, donde${\displaystyle 0<x<{\frac {D}{2}}}$, desde${\displaystyle 0<\ell <D}$, y${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$. El espacio muestral para${\displaystyle x,\theta }$es, por lo tanto, un rectángulo de longitudes de lado${\displaystyle {\frac {D}{2}}}$y${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

La probabilidad del evento de que la aguja se encuentre sobre la línea más cercana es la fracción del espacio muestral que interseca con${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$. Desde${\displaystyle 0<\ell <D}$, el área de esta intersección viene dada por

${\displaystyle {\text{Area (event)}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ell }{2}}\sin \theta \,d\theta =-{\frac {\ell }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\ell }{2}}\cos 0={\frac {\ell }{2}}.}$

Ahora, el área del espacio muestral es

${\displaystyle {\text{Area (sample space)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}.}$

Por lo tanto, la probabilidad${\displaystyle P}$del evento es

${\displaystyle P={\frac {\text{Area (event)}}{\text{Area (sample space)}}}={\frac {\ell }{2}}\cdot {\frac {4}{D\pi }}={\frac {2\ell }{\pi D}}.}$^{[ 2 ]}

La fórmula${\displaystyle {\tfrac {2L}{\pi D}}}$Se mantiene igual incluso cuando la aguja se dobla de cualquier forma (con la restricción de que debe estar en un plano), convirtiéndola en una " curva plana rígida" , aunque ahora proporciona el número esperado de cruces de las líneas paralelas en lugar de una probabilidad. Podemos prescindir de la suposición de que la longitud de la curva plana no es mayor que la distancia entre las líneas paralelas.

La forma del fideo afecta la distribución de probabilidad del número de cruces, pero no el número esperado de cruces, que solo depende de la longitud L del fideo y la distancia D entre las líneas paralelas (observe que un fideo curvo puede cruzar una sola línea varias veces).

Este hecho puede probarse de la siguiente manera (véase Klain y Rota). Supongamos primero que el fideo es lineal a trozos , es decir, consta de n trozos rectos. Sea X _i el número de veces que el i -ésimo trozo cruza una de las líneas paralelas. Estas variables aleatorias no son independientes , pero las esperanzas siguen siendo aditivas debido a la linealidad de la esperanza :

${\displaystyle E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n}).}$

Considerando un fideo curvo como el límite de una secuencia de fideos lineales a trozos, concluimos que el número esperado de cruces por lanzamiento es proporcional a la longitud; es una constante multiplicada por la longitud L. Entonces, el problema es encontrar la constante. En caso de que el fideo sea un círculo de diámetro igual a la distancia D entre las líneas paralelas, entonces L = π D y el número de cruces es exactamente 2, con probabilidad 1. Entonces, cuando L = π D , el número esperado de cruces es 2. Por lo tanto, el número esperado de cruces debe ser 2 L / ( π D ).

• Fórmula de Crofton

• Ramaley, J. F. (1969). "Buffon's Noodle Problem"(PDF). The American Mathematical Monthly. 76 (8, October 1969). Mathematical Association of America: 916–918. doi:10.2307/2317945. ISSN 0002-9890. JSTOR 2317945. Archived from the original(PDF) on 2020-01-14. Retrieved 2020-02-05.
• Daniel A. Klain; Gian-Carlo Rota (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge University Press. p. 1. ISBN 978-0-521-59654-1.

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