teorema del haz

En geometría euclidiana , el teorema del fibrado describe seis círculos y ocho puntos en el plano euclidiano. En geometría de incidencia general , se trata de una propiedad similar que un plano de Möbius puede o no cumplir. Según el teorema de Kahn, solo los planos de Möbius "ovoidales" la cumplen; por lo tanto, es el análogo para planos de Möbius del teorema de Desargues para planos proyectivos .

Si para ocho puntos diferentes${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}}$cinco de los seis cuádruples${\displaystyle Q_{ij}:=\{A_{i},B_{i},A_{j},B_{j}\},\ i<j,}$son concíclicos (contenidos en un ciclo) en al menos cuatro ciclos${\displaystyle c_{ij}}$, entonces la sexta cuádruple también es concíclica. ^{[ 1 ]}

El teorema del haz no debe confundirse con el teorema de Miquel (aunque se puede derivar tomando una inversión de círculo en el diagrama del punto de Miquel de un cuadrilátero completo).

Un plano de Möbius ovoide en el espacio euclidiano real puede considerarse como la geometría de las secciones planas de una superficie con forma de huevo, como una esfera, un elipsoide, o media esfera pegada a la mitad adecuada de un elipsoide, o la superficie con ecuación${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$, etc. Si la superficie con forma de huevo es una esfera, se obtiene el modelo espacial del plano de Möbius real clásico , que es la "geometría del círculo" en la esfera.

La propiedad esencial de un plano de Möbius ovoide es la existencia de un modelo espacial a través de un ovoide. Un ovoide en un espacio proyectivo tridimensional es un conjunto de puntos que a) es intersectado por líneas en 0, 1 o 2 puntos y b) sus tangentes en un punto arbitrario cubren un plano (plano tangente). La geometría de un ovoide en el espacio proyectivo tridimensional es un plano de Möbius, llamado plano de Möbius ovoide . El conjunto de puntos de la geometría consiste en los puntos del ovoide y las curvas ("ciclos") son las secciones planas del ovoide. Una proyección estereográfica adecuada muestra que para cualquier plano de Möbius ovoide existe un modelo plano. ^{[ 2 ]} En el caso clásico, el modelo plano es la geometría de los círculos y las líneas (donde cada línea se completa con un punto en el infinito). El teorema del fibrado tiene una interpretación planar y espacial. En el modelo planar pueden estar involucradas líneas. La demostración del teorema del haz se realiza dentro del modelo espacial.

Un plano de Möbius es ovoide si y solo si cumple el teorema del fibrado. ^{[ 3 ]}

El teorema del fibrado es análogo para los planos de Möbius al teorema de Desargues para los planos proyectivos . Del teorema del fibrado se deduce la existencia de a) un cuerpo asimétrico (anillo de división) y b) un ovoide. Si se cumple el teorema más estricto de Miquel, el cuerpo asimétrico es incluso conmutativo (cuerpo) y el ovoide es una cuádrica .

Hay planos de Möbius que no son ovoides. ^{[ 4 ]}

Para los planos de Laguerre ovoidales existe un teorema de fibrado con un significado análogo. ^{[ 5 ]}

• Hartmann, Erich. Geometrías circulares planas: una introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski. (PDF; 891  kB) Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Darmstadt
• Kahn, Jeff. Planos inversos que satisfacen el teorema del fibrado . Journal of Combinatorial Theory, Serie A, Volumen 29, Número 1, págs. 1-19, julio de 1980. doi:10.1016/0097-3165(80)90043-6

• W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
• P. Dembowski, Geometrías finitas , Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8pág.  256