Teorema de Burnside

En matemáticas , el teorema de Burnside en teoría de grupos establece que si${\displaystyle G}$es un grupo finito de orden${\displaystyle p^{a}q^{b}}$dónde${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son números primos y${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son enteros no negativos , entonces${\displaystyle G}$es resoluble . Por lo tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos.

El teorema fue demostrado por William Burnside ( 1904 ) utilizando la teoría de representaciones de grupos finitos . Varios casos especiales del teorema habían sido demostrados previamente por Burnside en 1897, Jordan en 1898 y Frobenius en 1902. John G. Thompson señaló que se podía extraer una demostración que evitaba el uso de la teoría de representaciones de su trabajo en las décadas de 1960 y 1970 sobre el teorema del grupo N , y esto fue realizado explícitamente por Goldschmidt (1970) para grupos de orden impar, y por Bender (1972) para grupos de orden par. Matsuyama (1973) simplificó las demostraciones. 

La siguiente demostración —que utiliza más información de contexto que la de Burnside— es por contradicción . Sea${\displaystyle p^{a}q^{b}}$sea ​​el producto más pequeño de dos potencias primas, tal que exista un grupo no resoluble${\displaystyle G}$cuyo orden es igual a este número.

• ${\displaystyle G}$es un grupo simple con centro trivial y${\displaystyle a}$no es cero.

Si${\displaystyle G}$tenía un subgrupo normal propio no trivial${\displaystyle H}$, entonces (debido a la minimalidad de${\displaystyle G}$),${\displaystyle H}$y${\displaystyle G/H}$sería solucionable, por lo tanto${\displaystyle G}$Además, lo cual contradiría nuestra suposición. Así que${\displaystyle G}$es simple.

Si${\displaystyle a}$eran cero,${\displaystyle G}$sería un q-grupo finito , por lo tanto nilpotente y, en consecuencia, resoluble.

Similarmente,${\displaystyle G}$no puede ser abeliano, de lo contrario sería resoluble. Como${\displaystyle G}$es simple, por lo tanto su centro debe ser trivial.

• Hay un elemento${\displaystyle g}$de${\displaystyle G}$que tiene${\displaystyle q^{d}}$conjugados , para algunos${\displaystyle d>0}$.

Según el primer enunciado del teorema de Sylow ,${\displaystyle G}$tiene un subgrupo${\displaystyle S}$del orden${\displaystyle p^{a}}$. Porque${\displaystyle S}$es un asunto no trivial${\displaystyle p}$-grupo, su centro${\displaystyle Z(S)}$no es trivial. Corrija un elemento no trivial${\displaystyle g\in Z(S)}$. El número de conjugados de${\displaystyle g}$es igual al índice de su centralizador${\displaystyle G_{g}}$, que divide el índice${\displaystyle q^{b}}$de${\displaystyle S}$(porque${\displaystyle S}$es un subgrupo de${\displaystyle G_{g}}$). Por lo tanto, este número es de la forma${\displaystyle q^{d}}$. Además, el entero${\displaystyle d}$es estrictamente positivo, ya que${\displaystyle g}$no es trivial y por lo tanto no es central en${\displaystyle G}$.

• Existe una representación irreducible no trivial${\displaystyle \rho }$con carácter${\displaystyle \chi }$, de tal manera que su dimensión${\displaystyle n}$no es divisible por${\displaystyle q}$y el número complejo${\displaystyle \chi (g)}$no es cero.

Dejar${\displaystyle (\chi _{i})_{1\leq i\leq h}}$ser la familia de caracteres irreductibles de${\displaystyle G}$encima${\displaystyle \mathbb {C} }$(aquí${\displaystyle \chi _{1}}$denota el carácter trivial). Porque${\displaystyle g}$no está en la misma clase de conjugación que 1, la relación de ortogonalidad para las columnas de la tabla de caracteres del grupo da:

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}$

Ahora el${\displaystyle \chi _{i}(g)}$son enteros algebraicos , porque son sumas de raíces de la unidad . Si todos los caracteres irreducibles no triviales que no se anulan en${\displaystyle g}$tomar un valor divisible por${\displaystyle q}$En 1, deducimos que

${\displaystyle -{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)}$

es un entero algebraico (ya que es una suma de múltiplos enteros de enteros algebraicos), lo cual es absurdo. Esto demuestra la afirmación.

• El número complejo${\displaystyle q^{d}\chi (g)/n}$es un número entero algebraico.

El conjunto de funciones de clase con valores enteros en${\displaystyle G}$,${\displaystyle Z(\mathbb {Z} [G])}$, es un anillo conmutativo , finitamente generado sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$Todos sus elementos son, por lo tanto, integrales.${\displaystyle \mathbb {Z} }$, en particular el mapeo${\displaystyle u}$que toma el valor 1 en la clase de conjugación de${\displaystyle g}$y 0 en cualquier otro lugar.

El mapeo${\displaystyle A\colon Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})}$que envía una función de clase${\displaystyle f}$a

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\rho (s)}$

es un homomorfismo de anillos. Porque${\displaystyle \rho (s)^{-1}A(u)\rho (s)=A(u)}$a pesar de${\displaystyle s}$El lema de Schur implica que${\displaystyle A(u)}$es una homotecia${\displaystyle \lambda I_{n}}$Su rastro${\displaystyle n\lambda }$es igual a

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).}$

Debido a la homotecia${\displaystyle \lambda I_{n}}$es la imagen homomórfica de un elemento integral, esto prueba que el número complejo${\displaystyle \lambda =q^{d}\chi (g)/n}$es un número entero algebraico.

• El número complejo${\displaystyle \chi (g)/n}$es un número entero algebraico.

Desde${\displaystyle q}$es relativamente primordial para${\displaystyle n}$, por la identidad de Bézout hay dos enteros${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de tal manera que:

${\displaystyle xq^{d}+yn=1\quad {\text{por lo tanto}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).}$

Dado que una combinación lineal con coeficientes enteros de números enteros algebraicos es también un número entero algebraico, esto demuestra la afirmación.

• La imagen de${\displaystyle g}$, bajo la representación${\displaystyle \rho }$, es una homotecia.

Dejar${\displaystyle \zeta }$sea ​​el número complejo${\displaystyle \chi (g)/n}$Es un entero algebraico, por lo que su norma${\displaystyle N(\zeta )}$(es decir, el producto de sus conjugados , que son las raíces de su polinomio mínimo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$) es un número entero distinto de cero. Ahora${\displaystyle \zeta }$es el promedio de raíces de la unidad (los valores propios de${\displaystyle \rho (g)}$), por lo tanto, también lo son sus conjugados, por lo que todos tienen un valor absoluto menor o igual a 1. Porque el valor absoluto de su producto${\displaystyle N(\zeta )}$es mayor o igual que 1, su valor absoluto debe ser todos 1, en particular${\displaystyle \zeta }$, lo que significa que los valores propios de${\displaystyle \rho (g)}$todos son iguales, por lo tanto${\displaystyle \rho (g)}$es una homotecia.

• Conclusión

Dejar${\displaystyle N}$ser el núcleo de${\displaystyle \rho }$La homotecia${\displaystyle \rho (g)}$es fundamental en${\displaystyle \operatorname {Im} (\rho )}$(que es canónicamente isomorfo a${\displaystyle G/N}$), mientras${\displaystyle g}$no es central en${\displaystyle G}$. En consecuencia, el subgrupo normal${\displaystyle N}$del grupo simple${\displaystyle G}$no es trivial, por lo tanto es igual a${\displaystyle G}$, lo cual contradice el hecho de que${\displaystyle \rho }$es una representación no trivial.

Esta contradicción demuestra el teorema.

• Bender, Helmut (1972), "Una demostración teórica de grupos del teorema p ^a q ^b de Burnside .", Mathematische Zeitschrift , 126 (4): 327– 338, doi : 10.1007/bf01110337 , MR 0322048 , S2CID 119821947  
• Burnside, W. (1904), "Sobre grupos de orden p ^α q ^β " , Actas de la Sociedad Matemática de Londres (s2-1 (1)): 388– 392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388
• Goldschmidt, David M. (1970), "Una demostración teórica de grupos del teorema p ^a q ^b para primos impares", Mathematische Zeitschrift , 113 (5): 373– 375, doi : 10.1007/bf01110506 , MR 0276338 , S2CID 123625253  
• James, Gordon; y Liebeck, Martin (2001). Representaciones y características de los grupos (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-XVéase el capítulo 31.
• Matsuyama, Hiroshi (1973), "Solubilidad de grupos de orden 2 ^a q ^b .", Osaka Journal of Mathematics , 10 : 375– 378, MR 0323890