Problema de Burnside

El problema de Burnside plantea si un grupo finitamente generado en el que cada elemento tiene orden finito debe ser necesariamente un grupo finito . Fue formulado por William Burnside en 1902, convirtiéndose en una de las preguntas más antiguas de la teoría de grupos , y fue influyente en el desarrollo de la teoría combinatoria de grupos . Se sabe que tiene una respuesta negativa en general, como demostraron Evgeny Golod e Igor Shafarevich en 1964 con un contraejemplo. El problema tiene muchas variaciones y refinamientos que difieren en las condiciones adicionales impuestas a los órdenes de los elementos del grupo (véase acotado y restringido más adelante). Algunas de estas variantes siguen siendo preguntas abiertas .

Los trabajos iniciales apuntaban a una respuesta afirmativa. Por ejemplo, si un grupo G es finitamente generado y el orden de cada elemento de G es divisor de 4, entonces G es finito. Además, A.I. Kostrikin pudo demostrar en 1958 que, entre los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente primo dado, existe uno mayor. Esto proporciona una solución al problema restringido de Burnside para el caso de exponente primo. (Más tarde, en 1989, Efim Zelmanov pudo resolver el problema restringido de Burnside para un exponente arbitrario). Issai Schur había demostrado en 1911 que cualquier grupo periódico finitamente generado que fuera un subgrupo del grupo de matrices complejas invertibles n × n era finito; utilizó este teorema para demostrar el teorema de Jordan-Schur . ^{[ 1 ]}

Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito de tipo Burnside sin asumir que todos los elementos tienen un orden uniformemente acotado. En 1968, Pyotr Novikov y Sergei Adian proporcionaron una solución negativa al problema del exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381 que posteriormente fue mejorada a un exponente impar mayor que 665 por Adian. ^{[ 2 ]} En 1982, A. Yu. Ol'shanskii encontró algunos contraejemplos sorprendentes para exponentes impares suficientemente grandes (mayores que 10 ¹⁰ ), y proporcionó una demostración considerablemente más simple basada en ideas geométricas.

El caso de exponentes pares resultó ser mucho más difícil de resolver. En 1992, S. V. Ivanov anunció la solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por una gran potencia de 2 (las demostraciones detalladas se publicaron en 1994 y ocuparon unas 300 páginas). Posteriormente, el trabajo conjunto de Ol'shanskii e Ivanov estableció una solución negativa para un análogo del problema de Burnside para grupos hiperbólicos , siempre que el exponente sea suficientemente grande. Por el contrario, cuando el exponente es pequeño y distinto de 2, 3, 4 y 6, se sabe muy poco.

Un grupo G se denomina periódico (o de torsión) si cada elemento tiene un orden finito; es decir, para cada g en G , existe un entero positivo n tal que g ⁿ = 1. Claramente, todo grupo finito es periódico. Existen grupos fácilmente definibles, como el grupo p ^∞, que son grupos periódicos infinitos; pero este último grupo no puede generarse de forma finita.

Problema general de Burnside. Si G es un grupo periódico finitamente generado, ¿es G necesariamente finito?

Esta pregunta fue respondida negativamente en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich , quienes dieron un ejemplo de un p -grupo infinito que es finitamente generado (véase el teorema de Golod-Shafarevich ). Sin embargo, los órdenes de los elementos de este grupo no están a priori acotados por una sola constante.

Problema sin resolver en matemáticas

Para los cuales m y n es${\displaystyle B(m,n)}$¿finito?

Más problemas sin resolver en matemáticas

Parte de la dificultad del problema general de Burnside radica en que los requisitos de ser finitamente generado y periódico brindan muy poca información sobre la posible estructura de un grupo. Por lo tanto, planteamos más requisitos sobre G. Consideremos un grupo periódico G con la propiedad adicional de que existe un entero mínimo n tal que para todo g en G , g ⁿ = 1. Un grupo con esta propiedad se denomina periódico con exponente n acotado , o simplemente un grupo con exponente n . El problema de Burnside para grupos con exponente acotado plantea:

Problema de Burnside I. Si G es un grupo finitamente generado con exponente n , ¿es G necesariamente finito?

Resulta que este problema puede reformularse como una pregunta sobre la finitud de los grupos en una familia particular. El grupo libre de Burnside de rango m _y exponente n , denotado B( m , n ), es un grupo con m generadores distinguidos x1 , _... , xm en el que la identidad xn ⁼ 1 se cumple para todos los elementos x , y que es el grupo "más grande" que satisface estos requisitos. Más precisamente, la propiedad característica de B( m , n ) es que, dado cualquier grupo G con m generadores g1 _, ..., gm y de exponente _n , hay un homomorfismo único de B( m , n ) a G que mapea el i -ésimo generador xi _de B( m , n ) en el i _- ésimo generador gi de G. En el lenguaje de _las presentaciones de grupos , el grupo libre de Burnside B( _{m, n) tiene m generadores x₁, ..., xₙ} y las relaciones xₙ = 1 para cada palabra x en ^x₁ , ... , xₙ _, y cualquier _grupo G con m generadores de exponente n se obtiene a partir de él imponiendo relaciones adicionales. La existencia del grupo libre de Burnside y su unicidad salvo isomorfismo se establecen mediante técnicas estándar de la teoría de grupos. Así, si G es cualquier grupo finitamente generado de exponente n , entonces G es una imagen homomórfica de B( m , n ), donde m es el número de generadores de G. El problema de Burnside para grupos con exponente acotado se puede reformular ahora de la siguiente manera:

Problema de Burnside II. ¿Para qué enteros positivos m y n es finito el grupo libre de Burnside B( m , n )?

No se conoce la solución completa al problema de Burnside en esta forma. Burnside consideró algunos casos sencillos en su artículo original:

• B(1, n ) es el grupo cíclico de orden n .
• B( m , 2) es el producto directo de m copias del grupo cíclico de orden 2 y, por lo tanto, finito. ^{[ nota 1 ]}

Se conocen los siguientes resultados adicionales (Burnside, ^{[ 3 ]} Sanov, ^{[ 4 ]} M. Hall ^{[ 5 ]} ):

• B( m , 3), B( m , 4) y B( m , 6) son finitos para todo m .

El caso particular de B(2, 5) permanece abierto.

El avance en la resolución del problema de Burnside fue logrado por Pyotr Novikov y Sergei Adian en 1968. Utilizando un argumento combinatorio complicado, demostraron que para cada número impar n con n > 4381, existen grupos infinitos y finitamente generados de exponente n . Adian luego mejoró la cota en el exponente impar a 665. ^{[ 6 ]} En 2015, Adian afirmó haber obtenido una cota inferior de 101 para n impar ; sin embargo, la prueba completa de esta cota inferior nunca se completó ni se publicó. El caso del exponente par resultó ser considerablemente más difícil. Fue solo en 1994 que Sergei Vasilievich Ivanov pudo demostrar un análogo del teorema de Novikov-Adian: para cualquier m > 1 y un n par ≥ 2 ⁴⁸ , n divisible por 2 ⁹ , el grupo B( m , n ) es infinito; Junto con el teorema de Novikov-Adian, esto implica infinitud para todo m > 1 y n ≥ 2 ⁴⁸ . Esto fue mejorado en 1996 por IG Lysënok a m ​​> 1 y n ≥ 8000. Novikov-Adian, Ivanov y Lysënok establecieron resultados considerablemente más precisos sobre la estructura de los grupos libres de Burnside. En el caso del exponente impar, se demostró que todos los subgrupos finitos de los grupos libres de Burnside son grupos cíclicos. En el caso del exponente par, cada subgrupo finito está contenido en un producto de dos grupos diedrales , y existen subgrupos finitos no cíclicos. Además, se demostró que los problemas de palabras y conjugación son efectivamente resolubles en B( m , n ) tanto para los casos de exponentes impares como pares n .

Una clase famosa de contraejemplos al problema de Burnside está formada por grupos infinitos no cíclicos finitamente generados en los que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico finito , los llamados monstruos de Tarski . Los primeros ejemplos de tales grupos fueron construidos por A. Yu. Ol'shanskii en 1979 utilizando métodos geométricos, resolviendo así afirmativamente el problema de O. Yu. Schmidt. En 1982, Ol'shanskii pudo fortalecer sus resultados para establecer la existencia, para cualquier número primo p suficientemente grande (se puede tomar p > 10 ⁷⁵ ) de un grupo infinito finitamente generado en el que cada subgrupo propio no trivial es un grupo cíclico de orden p . En un artículo publicado en 1996, Ivanov y Ol'shanskii resolvieron un análogo del problema de Burnside en un grupo hiperbólico arbitrario para exponentes suficientemente grandes.

Formulada en la década de 1930, plantea otra pregunta relacionada:

Problema restringido de Burnside. Si se sabe que un grupo G con m generadores y exponente n es finito, ¿se puede concluir que el orden de G está acotado por alguna constante que depende únicamente de m y n ? De forma equivalente, ¿existen solo un número finito de grupos finitos con m generadores de exponente n , salvo isomorfismo ?

Esta variante del problema de Burnside también puede enunciarse en términos de teoría de categorías: una respuesta afirmativa para todo m es equivalente a decir que la categoría de grupos finitos de exponente n tiene todos los límites y colímites finitos. ^{[ 7 ]} También puede enunciarse más explícitamente en términos de ciertos grupos universales con m generadores y exponente n . Por resultados básicos de la teoría de grupos, la intersección de dos subgrupos normales de índice finito en cualquier grupo es en sí misma un subgrupo normal de índice finito. Por lo tanto, la intersección M de todos los subgrupos normales del grupo de Burnside libre B( m , n ) que tienen índice finito es un subgrupo normal de B( m , n ). Por consiguiente, se puede definir el grupo de Burnside restringido libre B ₀ ( m , n ) como el grupo cociente B( m , n )/ M . Todo grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B( m , n )/ N donde N es un subgrupo normal de B( m , n ) con índice finito. Por lo tanto, según el Tercer Teorema de Isomorfismo , todo grupo finito de exponente n con m generadores es isomorfo a B ₀ ( m , n )/( N / M ) — en otras palabras, es una imagen homomórfica de B ₀ ( m , n ). El problema restringido de Burnside entonces pregunta si B ₀ ( m , n ) es un grupo finito. En términos de teoría de categorías, B ₀ ( m , n ) es el coproducto de n grupos cíclicos de orden m en la categoría de grupos finitos de exponente n .

En el caso del exponente primo p , este problema fue estudiado exhaustivamente por A.I. Kostrikin durante la década de 1950, antes de la solución negativa del problema general de Burnside. Su solución, que establece la finitud de B₀ ₍ m , p ) , utiliza una relación con cuestiones profundas sobre identidades en álgebras de Lie de característica finita. El caso del exponente arbitrario fue resuelto completamente de forma afirmativa por Efim Zelmanov , quien recibió la Medalla Fields en 1994 por su trabajo.

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• Historia del problema de Burnside en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor