Grupo CA

En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo es un grupo CA o grupo abeliano centralizador si el centralizador de cualquier elemento distinto de la identidad es un subgrupo abeliano . Los grupos CA finitos son de importancia histórica como un ejemplo temprano del tipo de clasificaciones que se usarían en el teorema de Feit-Thompson y en la clasificación de grupos simples finitos . Varios grupos infinitos importantes son grupos CA, como los grupos libres , los monstruos de Tarski y algunos grupos de Burnside , y los grupos CA localmente finitos se han clasificado explícitamente. Los grupos CA también se denominan grupos conmutativos-transitivos (o grupos CT, por sus siglas en inglés) porque la conmutatividad es una relación transitiva entre los elementos distintos de la identidad de un grupo si y solo si el grupo es un grupo CA.

Los grupos CA localmente finitos fueron clasificados por varios matemáticos entre 1925 y 1998. Primero, se demostró que los grupos CA finitos eran simples o resolubles en ( Weisner 1925 ) . Luego, en el teorema de Brauer-Suzuki-Wall ( Brauer, Suzuki y Wall 1958 ) , se demostró que los grupos CA finitos de orden par eran grupos de Frobenius , grupos abelianos o grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales sobre un cuerpo finito de orden par, PSL(2, 2f ⁾ para f ≥ 2. Finalmente, se demostró que los grupos CA finitos de orden impar eran grupos de Frobenius o grupos abelianos en ( Suzuki 1957 ) , y por lo tanto, en particular, nunca son simples no abelianos.

Los grupos CA fueron importantes en el contexto de la clasificación de grupos simples finitos . Michio Suzuki demostró que todo grupo CA finito, simple y no abeliano es de orden par. Este resultado se extendió primero al teorema de Feit-Hall-Thompson, que demostró que los grupos CN finitos, simples y no abelianos tenían orden par, y luego al teorema de Feit-Thompson , que establece que todo grupo finito, simple y no abeliano es de orden par. Una exposición de la clasificación de grupos CA finitos se presenta como ejemplo 1 y 2 en ( Suzuki 1986 , pp. 291-305) . Una descripción más detallada de los grupos de Frobenius que aparecen se incluye en ( Wu 1998 ) , donde se muestra que un grupo CA finito y resoluble es un producto semidirecto de un grupo abeliano y un automorfismo sin puntos fijos, y que, a la inversa, todo producto semidirecto de este tipo es un grupo CA finito y resoluble. Wu también extendió la clasificación de Suzuki et al. a grupos localmente finitos . 

Todo grupo abeliano es un grupo CA, y un grupo con un centro no trivial es un grupo CA si y solo si es abeliano. Los grupos CA finitos se clasifican: los resolubles son productos semidirectos de grupos abelianos por grupos cíclicos tales que cada elemento no trivial actúa sin puntos fijos e incluyen grupos como los grupos diedrales de orden 4k + 2 y el grupo alternante en 4 puntos de orden 12, mientras que los no resolubles son todos simples y son los grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales PSL(2, 2n ⁾ para n ≥ 2. Los grupos CA infinitos incluyen grupos libres, PSL(2, R ) y grupos de Burnside de exponente primo grande ( Lyndon y Schupp 2001 , p. 10) . Algunos resultados más recientes en el caso infinito se incluyen en ( Wu 1998 ) , incluyendo una clasificación de grupos CA localmente finitos. Wu también observa que los monstruos de Tarski son ejemplos obvios de grupos CA simples e infinitos.