Álgebras CCR y CAR

En matemáticas y física, las álgebras CCR (según las relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras CAR (según las relaciones de anticonmutación canónicas) surgen del estudio de la mecánica cuántica de bosones y fermiones , respectivamente. Juegan un papel destacado en la mecánica estadística cuántica ^{[ 1 ]} y la teoría cuántica de campos .

Dejar${\displaystyle V}$Sea un espacio vectorial real equipado con una forma bilineal antisimétrica real no singular.${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$(es decir, un espacio vectorial simpléctico ). El *-álgebra unitaria generada por elementos de${\displaystyle V}$sujeto a las relaciones

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier${\displaystyle f,~g}$en${\displaystyle V}$se denomina álgebra de relaciones de conmutación canónicas (CCR) . La unicidad de las representaciones de esta álgebra cuando${\displaystyle V}$La dimensión finita se analiza en el teorema de Stone-von Neumann .

Si${\displaystyle V}$está equipado con una forma bilineal simétrica real no singular${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$en cambio, el *-álgebra unitaria generada por los elementos de${\displaystyle V}$sujeto a las relaciones

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier${\displaystyle f,~g}$en${\displaystyle V}$se denomina álgebra de relaciones de anticonmutación canónicas (CAR) .

Existe un significado distinto, pero estrechamente relacionado, del álgebra CCR, llamado álgebra CCR C*.${\displaystyle H}$sea ​​un espacio vectorial simpléctico real con forma simpléctica no singular${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. En la teoría de las álgebras de operadores , el álgebra CCR sobre${\displaystyle H}$es el álgebra C* unitaria generada por elementos${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$sujeto a

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Estas se denominan la forma de Weyl de las relaciones de conmutación canónicas y, en particular, implican que cada${\displaystyle W(f)}$es unitario y${\displaystyle W(0)=1}$Es bien sabido que el álgebra CCR es un álgebra simple (a menos que la forma simplética sea degenerada) no separable y es única salvo isomorfismo. ^{[ 2 ]}

Cuando${\displaystyle H}$es un espacio de Hilbert complejo y${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$está dada por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra CCR está fielmente representada en el espacio de Fock simétrico sobre${\displaystyle H}$al establecer

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

para cualquier${\displaystyle f,g\in H}$Los operadores de campo${\displaystyle B(f)}$se definen para cada uno${\displaystyle f\in H}$como generador del grupo unitario de un parámetro${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$en el espacio de Fock simétrico. Estos son operadores autoadjuntos no acotados , sin embargo, formalmente satisfacen

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Como tarea${\displaystyle f\mapsto B(f)}$es lineal real, por lo que los operadores${\displaystyle B(f)}$definir un álgebra CCR sobre${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$en el sentido de la Sección 1 .

Dejar${\displaystyle H}$sea ​​un espacio de Hilbert. En la teoría de las álgebras de operadores, el álgebra CAR es la única C*-completación del *-álgebra unitaria compleja generada por elementos${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$sujeto a las relaciones

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

para cualquier${\displaystyle f,g\in H}$,${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$. Cuando${\displaystyle H}$es separable el álgebra CAR es un álgebra AF y en el caso especial${\displaystyle H}$es de dimensión infinita, a menudo se escribe como${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle F_{a}(H)}$sea ​​el espacio de Fock antisimétrico sobre${\displaystyle H}$y dejar${\displaystyle P_{a}}$sea ​​la proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos:

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

El álgebra CAR está fielmente representada en${\displaystyle F_{a}(H)}$al establecer

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})={\sqrt {n+1}}P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

a pesar de${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$y${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$El hecho de que estos formen un álgebra C* se debe a que los operadores de creación y aniquilación en el espacio de Fock antisimétrico son operadores acotados genuinos . Además, los operadores de campo${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$satisfacer

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

estableciendo la relación con la Sección 1 .

Dejar${\displaystyle V}$ser un verdadero${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$- espacio vectorial graduado equipado con una superforma bilineal antisimétrica no singular${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$(es decir${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$) tal que${\displaystyle (f,g)}$es real si alguno de los dos${\displaystyle f}$o${\displaystyle g}$es un elemento par e imaginario si ambos son impares. El *-álgebra unitaria generada por los elementos de${\displaystyle V}$sujeto a las relaciones

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

para cualesquiera dos elementos puros${\displaystyle f,~g}$en${\displaystyle V}$es la generalización obvia de superálgebra que unifica CCR con CAR: si todos los elementos puros son pares, se obtiene un CCR, mientras que si todos los elementos puros son impares, se obtiene un CAR.

En matemáticas, la estructura abstracta de las álgebras CCR y CAR, sobre cualquier cuerpo, no solo los números complejos, se estudia con el nombre de álgebras de Weyl y Clifford , donde se han obtenido muchos resultados significativos. Uno de ellos es que las generalizaciones graduadas de las álgebras de Weyl y Clifford permiten la formulación sin base de las relaciones canónicas de conmutación y anticonmutación en términos de una forma simpléctica y una forma bilineal simétrica no degenerada. Además, los elementos binarios en esta álgebra de Weyl graduada proporcionan una versión sin base de las relaciones de conmutación de las álgebras de Lie ortogonales simplécticas e indefinidas . ^{[ 4 ]}

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