CEILIDH

• Dejar${\displaystyle q}$ser una potencia principal.
• Un número entero${\displaystyle n}$se elige de tal manera que  :
  • El toroide${\displaystyle T_{n}}$tiene una parametrización racional explícita.
  • ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$es divisible por un número primo grande${\displaystyle l}$dónde${\displaystyle \Phi _{n}}$es el${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$Polinomio ciclotómico .
• Dejar${\displaystyle m=\phi (n)}$dónde${\displaystyle \phi }$es la función de Euler .
• Dejar${\displaystyle \rho \colon T_{n}(\mathbb {F} _{q})\rightarrow {\mathbb {F} _{q}}^{m}}$un mapa birracional y su inversa${\displaystyle \psi }$.
• Elegir${\displaystyle \alpha \in T_{n}}$del orden${\displaystyle l}$y dejar${\displaystyle g=\rho (\alpha )}$.

Este sistema se basa en el acuerdo de clave Diffie-Hellman .

• Alicia elige un número al azar${\displaystyle a\ {\pmod {\Phi _{n}(q)}}}$.
• Ella calcula${\displaystyle P_{A}=\rho (\psi (g)^{a})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$y se lo envía a Bob.
• Bob elige un número al azar${\displaystyle b\ {\pmod {\Phi _{n}(q)}}}$.
• Él calcula${\displaystyle P_{B}=\rho (\psi (g)^{b})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$y se lo envía a Alice.
• Alice calcula${\displaystyle \rho (\psi (P_{B})^{a})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$
• Bob calcula${\displaystyle \rho (\psi (P_{A})^{b})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$

${\displaystyle \psi \circ \rho }$es la identidad, por lo tanto tenemos: ${\displaystyle \rho (\psi (P_{B})^{a})=\rho (\psi (P_{A})^{b})=\rho (\psi (g)^{ab})}$, que es el secreto que comparten Alice y Bob.

Este sistema se basa en el cifrado ElGamal .

• Generación de claves
  • Alicia elige un número al azar${\displaystyle a\ {\pmod {\Phi _{n}(q)}}}$como su clave privada.
  • La clave pública resultante es${\displaystyle P_{A}=\rho (\psi (g)^{a})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$.
• Cifrado
  • El mensaje${\displaystyle M}$es un elemento de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{m}}$.
  • Bob elige un número entero aleatorio.${\displaystyle k}$en el rango${\displaystyle 1\leq k\leq l-1}$.
  • Bob calcula${\displaystyle \gamma =\rho (\psi (g)^{k})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$y${\displaystyle \delta =\rho (\psi (M)\psi (P_{A})^{k})\in \mathbb {F} _{q}^{m}}$.
  • Bob envía el texto cifrado${\displaystyle (\gamma ,\delta )}$a Alicia.
• Descifrado
  • Alice calcula${\displaystyle M=\rho (\psi (\delta )\psi (\gamma )^{-a})}$.