Método CL (física de partículas)

En física de partículas , los CL ^{[ 1 ]} representan un método estadístico para establecer límites superiores (también llamados límites de exclusión ^{[ 2 ]} ) en los parámetros del modelo , una forma particular de estimación de intervalos utilizada para parámetros que solo pueden tomar valores no negativos. Aunque se dice que los CL se refieren a Niveles de Confianza , "el nombre del método es... engañoso, ya que la región de exclusión de los CL no es un intervalo de confianza " ^{[ 3 ]} . Fue introducido por primera vez por físicos que trabajaban en el experimento LEP en el CERN y desde entonces ha sido utilizado por muchos experimentos de física de altas energías . Es un método frecuentista en el sentido de que las propiedades del límite se definen mediante probabilidades de error ; sin embargo, difiere de los intervalos de confianza estándar en que el nivel de confianza declarado del intervalo no es igual a su probabilidad de cobertura . La razón de esta desviación es que los límites superiores estándar basados ​​en una prueba más potente necesariamente producen intervalos vacíos con alguna probabilidad fija cuando el valor del parámetro es cero, y esta propiedad es considerada indeseable por la mayoría de los físicos y estadísticos. ^{[ 4 ]}

Los límites superiores derivados con el método CL siempre contienen el valor cero del parámetro y, por lo tanto, la probabilidad de cobertura en este punto siempre es del 100 %. La definición de CL no se deriva de ningún marco teórico preciso de inferencia estadística y, por consiguiente, a veces se describe como ad hoc . Sin embargo, guarda una estrecha semejanza con los conceptos de evidencia estadística ^{[ 5 ]} propuestos por el estadístico Allan Birnbaum .

Sea X una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad con un parámetro real no negativo.${\displaystyle \theta \in [0,\infty )}$. Un límite superior de CL para el parámetro θ , con nivel de confianza${\displaystyle 1-\alpha '}$es una estadística (es decir, una variable aleatoria observable )${\displaystyle \theta _{up}(X)}$que tiene la propiedad:

La desigualdad se utiliza en la definición para tener en cuenta los casos en que la distribución de X es discreta y no se puede lograr una igualdad con precisión. Si la distribución de X es continua , entonces esto debe reemplazarse por una igualdad. Nótese que la definición implica que la probabilidad de cobertura${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )}$siempre es más grande que${\displaystyle 1-\alpha '}$.

Se puede hacer una definición equivalente considerando una prueba de hipótesis de la hipótesis nula.${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}}$frente a la alternativa${\displaystyle H_{1}:\theta =0}$. Entonces el numerador en ( 1 ), cuando se evalúa en${\displaystyle \theta _{0}}$, corresponden a la probabilidad de error de tipo I (${\displaystyle \alpha }$) de la prueba (es decir,${\displaystyle \theta _{0}}$es rechazado cuando${\displaystyle \theta _{up}(X)<\theta _{0}}$) y el denominador de la potencia (${\displaystyle 1-\beta }$). El criterio para rechazar${\displaystyle H_{0}}$Por lo tanto, requiere que la razón${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$será más pequeño que${\displaystyle \alpha '}$Esto puede interpretarse intuitivamente como decir que${\displaystyle \theta _{0}}$está excluido porque es${\displaystyle \alpha '}$es menos probable observar un resultado tan extremo como X cuando${\displaystyle \theta _{0}}$es más cierto que cuando la alternativa${\displaystyle \theta =0}$Es cierto.

El cálculo del límite superior se suele realizar mediante la construcción de un estadístico de prueba.${\displaystyle q_{\theta }(X)}$y encontrar el valor de${\displaystyle \theta }$para qué

${\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|0)}}=\alpha '.}$

dónde${\displaystyle q_{\theta }^{*}}$es el resultado observado del experimento.

En numerosas publicaciones de resultados experimentales obtenidos en experimentos con aceleradores de partículas como LEP , el Tevatron y el LHC , sobre todo en la búsqueda de nuevas partículas, se utilizaron límites superiores basados ​​en el método CL.

La motivación original para los CL se basó en un cálculo de probabilidad condicional sugerido por el físico G. Zech ^{[ 6 ]} para un experimento de conteo de eventos. Supongamos que un experimento consiste en medir${\displaystyle n}$eventos provenientes de procesos de señal y de fondo, ambos descritos por distribuciones de Poisson con tasas respectivas${\displaystyle s}$y${\displaystyle b}$, es decir${\displaystyle n\sim {\text{Poiss}}(s+b)}$.${\displaystyle b}$se supone que es conocido y${\displaystyle s}$es el parámetro que se estimará mediante el experimento. El procedimiento estándar para establecer un límite superior en${\displaystyle s}$dado un resultado experimental${\displaystyle n^{*}}$consiste en excluir valores de${\displaystyle s}$para qué${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha }$, lo que garantiza al menos${\displaystyle 1-\alpha }$cobertura. Consideremos, por ejemplo, un caso en el que${\displaystyle b=3}$y${\displaystyle n^{*}=0}$Se observan eventos y luego se descubre que${\displaystyle s+b\geq 3}$se excluye con un nivel de confianza del 95%. Pero esto implica que${\displaystyle s\geq 0}$se excluye, es decir, todos los valores posibles de${\displaystyle s}$. Tal resultado es difícil de interpretar porque el experimento no puede distinguir esencialmente valores muy pequeños de${\displaystyle s}$de la hipótesis de fondo solamente, y por lo tanto declarar que tales valores pequeños están excluidos (a favor de la hipótesis de fondo solamente) parece inapropiado. Para superar esta dificultad, Zech sugirió condicionar la probabilidad de que${\displaystyle n\leq n^{*}}$sobre la observación de que${\displaystyle n_{b}\leq n^{*}}$, dónde${\displaystyle n_{b}}$es el número (inmensurable) de eventos de fondo. El razonamiento detrás de esto es que cuando${\displaystyle n_{b}}$es pequeño el procedimiento tiene más probabilidades de producir un error (es decir, un intervalo que no cubre el valor verdadero) que cuando${\displaystyle n_{b}}$es grande y la distribución de${\displaystyle n_{b}}$en sí mismo es independiente de${\displaystyle s}$Es decir, no se debe informar la probabilidad de error general, sino la probabilidad condicional dado el conocimiento que se tiene sobre el número de eventos de fondo en la muestra. Esta probabilidad condicional es

${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|n_{b}\leq n^{*},s+b)={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*},n_{b}\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n_{b}\leq n^{*}|s+b)}}={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n\leq n^{*}|b)}}.}$

que corresponden a la definición anterior de CL. La primera igualdad simplemente utiliza la definición de probabilidad condicional , y la segunda igualdad proviene del hecho de que si${\displaystyle n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}}$y el número de eventos de fondo es, por definición, independiente de la intensidad de la señal.

Los argumentos expuestos anteriormente pueden considerarse afines al principio de condicionalidad de la inferencia estadística, aunque expresan una noción más generalizada de condicionalidad que no requiere la existencia de una estadística auxiliar . Sin embargo, el principio de condicionalidad , incluso en su versión original más restringida, implica formalmente el principio de verosimilitud , un resultado que Birnbaum demostró de forma célebre . ^{[ 7 ]} CL no obedece al principio de verosimilitud , por lo que tales consideraciones solo pueden utilizarse para sugerir plausibilidad, pero no completitud teórica desde el punto de vista fundamental. (Lo mismo puede decirse, sin embargo, de cualquier método frecuentista si se considera necesario el principio de condicionalidad ).

El propio Birnbaum sugirió en su artículo de 1962 que la relación CLs${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$debe utilizarse como una medida de la fuerza de la evidencia estadística proporcionada por las pruebas de significancia, en lugar de${\displaystyle \alpha }$solo. Esto se derivó de una simple aplicación del principio de probabilidad : si el resultado de un experimento se va a informar solo en forma de una decisión de "aceptar"/"rechazar", entonces el procedimiento general es equivalente a un experimento que tiene solo dos resultados posibles, con probabilidades${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle (1-\beta )}$y${\displaystyle 1-\alpha }$,${\displaystyle (\beta )}$bajo${\displaystyle H_{1},(H_{2})}$. La razón de verosimilitud asociada con el resultado "rechazar"${\displaystyle H_{1}}$" es por lo tanto${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$y por lo tanto debería determinar la interpretación probatoria de este resultado. (Ya que, para una prueba de dos hipótesis simples, la razón de verosimilitud es una representación compacta de la función de verosimilitud ). Por otro lado, si se ha de seguir el principio de verosimilitud de forma consistente, entonces se debería utilizar la razón de verosimilitud del resultado original y no${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$lo que pone en duda la base de tal interpretación. Birnbaum la describió más tarde como algo que tiene "a lo sumo un valor heurístico, pero no sustancial, para la interpretación de la evidencia".

Un enfoque más directo que conduce a una conclusión similar se puede encontrar en la formulación de Birnbaum del principio de confianza , que, a diferencia de la versión más común, se refiere a probabilidades de error de ambos tipos. Esto se enuncia de la siguiente manera: ^{[ 8 ]}

"Un concepto de evidencia estadística no es plausible a menos que encuentre 'evidencia sólida para${\displaystyle H_{2}}$en contra${\displaystyle H_{1}}$'con pequeña probabilidad${\displaystyle (\alpha )}$cuando${\displaystyle H_{1}}$es cierto, y con mucha mayor probabilidad${\displaystyle \ (1-\beta )\ }$cuando${\displaystyle H_{2}}$Es cierto."

Esta definición de confianza parece estar satisfecha con la definición de intervalos de confianza. Sin embargo, tanto esta como las versiones más comunes (asociadas a la teoría de Neyman - Pearson ) del principio de confianza son incompatibles con el principio de verosimilitud, por lo que ningún método frecuentista puede considerarse una solución verdaderamente completa a los problemas que surgen al considerar las propiedades condicionales de los intervalos de confianza.

Si se cumplen ciertas condiciones de regularidad, entonces una función de verosimilitud general se convertirá en una función gaussiana en el límite de muestra grande. En tal caso, el límite superior de CL en el nivel de confianza${\displaystyle 1-\alpha '}$(derivado de la prueba uniformemente más potente ) viene dado por ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \theta _{up}={\hat {\theta }}+\sigma \Phi ^{-1}(1-\alpha '\Phi ({\hat {\theta }}/\sigma )),}$

dónde${\displaystyle \Phi }$es la distribución acumulativa normal estándar ,${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$es el estimador de máxima verosimilitud de${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \sigma }$es su desviación estándar ; esta última podría estimarse a partir de la inversa de la matriz de información de Fisher o utilizando el conjunto de datos "Asimov" ^{[ 9 ]} . Este resultado resulta ser equivalente a un intervalo creíble bayesiano si se utiliza una distribución a priori uniforme para${\displaystyle \theta }$se utiliza.

• Leon Jay Gleser (2002). " [ Establecimiento de intervalos de confianza para parámetros acotados ] : Comentario" . Statistical Science . 17 (2): 161– 163. doi : 10.1214/ss/1030550859 . JSTOR 3182818 . 
• Fraser, DAS; Reid N.; Wong, ACM (2004). "Inferencia para parámetros acotados". Phys. Rev. D . 69 (3) 033002. arXiv : physics/0303111 . Bibcode : 2004PhRvD..69c3002F . doi : 10.1103/PhysRevD.69.033002 . S2CID 18947032 . 
• Robert D. Cousins ​​(2011). "Subconjuntos relevantes con sesgo negativo inducidos por los límites superiores de confianza unilaterales más potentes para un parámetro físico acotado". arXiv : 1109.2023 [ physics.data-an ].

• Revisión de métodos estadísticos por parte del Particle Data Group (PDG).