Bucle de enganche de fase de bomba de carga

El análisis de Gardner se basa en la siguiente aproximación: ^{[ 2 ]} intervalo de tiempo en el que PFD tiene un estado distinto de cero en cada período de la señal de referencia es

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

Entonces, la salida promedio del PFD de la bomba de carga es

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

con la función de transferencia correspondiente

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

Utilizando la función de transferencia de filtro${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$y función de transferencia del VCO${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$Se obtiene el modelo de promedio aproximado lineal de Gardner para CP-PLL de segundo orden.

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

En 1980, F. Gardner , basándose en el razonamiento anterior, conjeturó que se puede esperar que la respuesta transitoria de los PLL de bomba de carga prácticos sea casi la misma que la respuesta del PLL clásico equivalente ^{[ 2 ] : 1856} ( conjetura de Gardner sobre CP-PLL ^{[ 7 ]} ). Siguiendo los resultados de Gardner, por analogía con la conjetura de Egan sobre el rango de atracción de APLL de tipo 2 , Amr M. Fahim conjeturó en su libro ^{[ 8 ] : 6} que para tener un rango de atracción (captura) infinito, se debe usar un filtro activo para el filtro de bucle en CP-PLL (conjetura de Fahim-Egan sobre el rango de atracción de CP-PLL de tipo II).

Sin pérdida de generalidad, se supone que los flancos descendentes de las señales VCO y Ref ocurren cuando la fase correspondiente alcanza un número entero. Sea el instante de tiempo del primer flanco descendente de la señal Ref definido como${\displaystyle t=0}$El estado PFD${\displaystyle i(0)}$está determinado por el estado inicial del PFD${\displaystyle i(0-)}$, los cambios de fase iniciales del VCO${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ y Ref${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$señales.

La relación entre la corriente de entrada${\displaystyle i(t)}$y el voltaje de salida${\displaystyle v_{F}(t)}$Para un filtro de integración proporcional (PI perfecto) basado en resistencia y condensador, se utiliza el siguiente método:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle R>0}$es una resistencia,${\displaystyle C>0}$es una capacitancia y${\displaystyle v_{c}(t)}$es una carga de condensador. La señal de control${\displaystyle v_{F}(t)}$Ajusta la frecuencia del VCO:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{libre}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{libre}}}$es la frecuencia de funcionamiento libre (en reposo) del VCO (es decir, para${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$),${\displaystyle K_{vco}}$ es la ganancia (sensibilidad) del VCO, y${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$es la fase del VCO. Finalmente, el modelo matemático no lineal en tiempo continuo del CP-PLL es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{libre}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

con la siguiente no linealidad constante discontinua por partes

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

y las condiciones iniciales${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$Este modelo es un sistema conmutado, no lineal, no autónomo y discontinuo.

Se supone que la frecuencia de la señal de referencia es constante: ${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ dónde${\displaystyle T_{ref}}$,${\displaystyle \omega _{ref}}$ y${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ son un período, una frecuencia y una fase de la señal de referencia.${\displaystyle t_{0}=0}$Denotemos por${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$el primer instante de tiempo tal que la salida del PFD se vuelve cero (si${\displaystyle i(0)=0}$, entonces${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$) y por${\displaystyle t_{1}}$el primer flanco descendente del VCO o Ref. Además, las secuencias crecientes correspondientes${\displaystyle \{t_{k}\}}$y${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$para${\displaystyle k=0,1,2...}$están definidos. Sea${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$. Luego para${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$el${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$es una constante distinta de cero (${\displaystyle \pm 1}$). Denotemos por${\displaystyle \tau _{k}}$el ancho del pulso PFD (duración del intervalo de tiempo, donde la salida PFD es una constante distinta de cero), multiplicado por el signo de la salida PFD: es decir${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$para${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$y ${\displaystyle \tau _{k}=0}$para${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$. Si el flanco descendente del VCO llega antes que el flanco descendente de Ref, entonces${\displaystyle \tau _{k}<0}$y en el caso opuesto tenemos${\displaystyle \tau _{k}>0}$, es decir${\displaystyle \tau _{k}}$Muestra cómo una señal se retrasa con respecto a otra. Salida cero del PFD${\displaystyle i(t)\equiv 0}$en el intervalo${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$: ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$para${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$. La transformación de variables ^{[ 9 ]}${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$a ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ permite reducir el número de parámetros a dos: ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ Aquí${\displaystyle p_{k}}$es un cambio de fase normalizado y${\displaystyle u_{k}+1}$es una relación de la frecuencia del VCO${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$a la frecuencia de referencia${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$. Finalmente, el modelo de tiempo discreto de CP-PLL de segundo orden sin sobrecarga del VCO ^{[ 4 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

Este modelo de tiempo discreto tiene un único estado estacionario en${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$y permite estimar los rangos de retención y atracción. ^{[ 6 ]}

Si el VCO está sobrecargado, es decir${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$es cero, o lo que es lo mismo: ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$o ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$Entonces, deben tenerse en cuenta los casos adicionales de la dinámica CP-PLL. ^{[ 5 ]} Para cualquier parámetro, la sobrecarga del VCO puede ocurrir si existe una diferencia de frecuencia suficientemente grande entre el VCO y las señales de referencia. En la práctica, debe evitarse la sobrecarga del VCO.

La derivación de modelos matemáticos no lineales de CP-PLL de alto orden conduce a ecuaciones de fase trascendentales que no pueden resolverse analíticamente y requieren enfoques numéricos como el método clásico de punto fijo o el método de Newton-Raphson. ^{[ 10 ]}