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Localización de una categoría

En matemáticas , la localización de una categoría consiste en añadir a ella morfismos inversos para una colección de morfismos, con la restricción de que se conviertan en isomor...

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En matemáticas , la localización de una categoría consiste en añadir a ella morfismos inversos para una colección de morfismos, con la restricción de que se conviertan en isomorfismos . Esto es formalmente similar al proceso de localización de un anillo ; en general, convierte en isomorfos objetos que antes no lo eran. En teoría de la homotopía , por ejemplo, existen numerosos ejemplos de aplicaciones invertibles salvo homotopía, y, por consiguiente, amplias clases de espacios homotópicamente equivalentes . El cálculo de fracciones es otro nombre para el trabajo en una categoría localizada.

Introducción y motivación

Una categoría C consta de objetos y morfismos entre estos objetos. Los morfismos reflejan relaciones entre los objetos. En muchas situaciones, resulta útil reemplazar C por otra categoría C' en la que ciertos morfismos se convierten en isomorfismos. Este proceso se denomina localización.

Por ejemplo, en la categoría de R - módulos (para algún anillo conmutativo fijo R ), la multiplicación por un elemento fijo r de R no suele ser un isomorfismo (es decir, a menos que r sea una unidad ):

METRO→METROmetro↦r⋅metro.{\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}

La categoría que está más estrechamente relacionada con los R -módulos, pero donde este mapa es un isomorfismo, resulta ser la categoría deR[S−1]{\displaystyle R[S^{-1}]}-módulos. Aquí,R[S−1]{\displaystyle R[S^{-1}]}es la localización de R con respecto al subconjunto (multiplicativamente cerrado) S que consta de todas las potencias de r , S={1,r,r2,r3,…}.{\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}.} La expresión "más estrechamente relacionado" se formaliza mediante dos condiciones: primero, existe un functor.

φ:ModR→ModR[S−1]METRO↦METRO[S−1]{\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}

enviando cualquier R -módulo a su localización con respecto a S. Además, dada cualquier categoría C y cualquier functor

F:ModR→do{\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}

Al enviar el mapa de multiplicación por r en cualquier R -módulo (ver arriba) a un isomorfismo de C , existe un functor único.

GRAMO:ModR[S−1]→do{\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}

de tal manera queF=GRAMO∘φ{\displaystyle F=G\circ \varphi }.

Localización de categorías

El ejemplo anterior de localización de módulos R se abstrae en la siguiente definición. De esta forma, se aplica a muchos otros ejemplos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Dada una categoría C y alguna clase W de morfismos en C , la localización C [ W − 1 ] es otra categoría que se obtiene invirtiendo todos los morfismos en W. Más formalmente, se caracteriza por una propiedad universal : existe un functor de localización C → C [ W − 1 ] y, dada otra categoría D , un functor F : C → D se factoriza de forma única a través de C [ W − 1 ] si y solo si F envía todas las flechas en W a isomorfismos.

Así, la localización de la categoría es única salvo isomorfismo único de categorías, siempre que exista. Una construcción de la localización se realiza declarando que sus objetos son los mismos que los de C , pero los morfismos se mejoran añadiendo un inverso formal para cada morfismo en W. Bajo hipótesis adecuadas sobre W , [ 1 ] los morfismos de un objeto X a un objeto Y están dados por techos

incógnita←Fincógnita′→Y{\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}

(donde X es un objeto arbitrario de C y f pertenece a la clase W de morfismos), módulo ciertas relaciones de equivalencia. Estas relaciones transforman la aplicación que va en la dirección "incorrecta" en la inversa de f . Este "cálculo de fracciones" puede considerarse una generalización de la construcción de números racionales como clases de equivalencia de pares de enteros.

Sin embargo, este procedimiento generalmente produce una clase propia de morfismos entre X e Y. Normalmente, los morfismos de una categoría solo pueden formar un conjunto. Algunos autores simplemente ignoran estas cuestiones de teoría de conjuntos.

Categorías de modelos

Una construcción rigurosa de la localización de una categoría, evitando estos problemas de teoría de conjuntos, fue una de las razones iniciales para el desarrollo de la teoría de categorías modelo . Una categoría modelo es una categoría M en la que existen tres clases de aplicaciones: una de estas clases es la clase de equivalencias débiles . La categoría de homotopía Ho( M ) es la localización con respecto a las equivalencias débiles. Los axiomas de una categoría modelo aseguran que esta localización puede definirse sin dificultades de teoría de conjuntos.

Definición alternativa

Algunos autores también definen una localización de una categoría C como un functor idempotente y coaumentado. Un functor coaumentado es un par (L,l) donde L:C → C es un endofunctor y l:Id → L es una transformación natural del functor identidad a L (llamada coaumentación). Un functor coaumentado es idempotente si, para cada objeto X , ambas aplicaciones L(l → X ) y l → L(X) : L(X) → LL(X) son isomorfismos. Se puede demostrar que, en este caso, ambas aplicaciones son iguales. [ 2 ]

Esta definición se relaciona con la dada anteriormente de la siguiente manera: aplicando la primera definición, en muchas situaciones no solo existe un functor canónico.do→do[W−1]{\displaystyle C\a C[W^{-1}]}, pero también un functor en la dirección opuesta

do[W−1]→do.{\displaystyle C[W^{-1}]\a C.}

Por ejemplo, módulos sobre la localizaciónR[S−1]{\displaystyle R[S^{-1}]}de un anillo R también son módulos sobre R mismo, dando como resultado un functor

ModR[S−1]→ModR.{\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}.}

En este caso, la composición

L:do→do[W−1]→do{\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}

es una localización de C en el sentido de un functor idempotente y coaumentado.

Ejemplos

Teoría C de Serre

Serre introdujo la idea de trabajar en teoría de homotopía módulo alguna clase C de grupos abelianos . Esto significaba que los grupos A y B se trataban como isomorfos, si, por ejemplo, A /B pertenecían a C.

Teoría de módulos

En la teoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , cuando R tiene dimensión de Krull ≥ 2, puede ser útil tratar los módulos M y N como pseudo-isomorfos si M/N tiene soporte de codimensión al menos dos. Esta idea se usa mucho en la teoría de Iwasawa .

Categorías derivadas

La categoría derivada de una categoría abeliana se usa mucho en álgebra homológica . Es la localización de la categoría de complejos de cadenas (salvo homotopía) con respecto a los cuasi-isomorfismos .

Cocientes de categorías abelianas

Dada una categoría abeliana A y una subcategoría de Serre B, se puede definir la categoría cociente A/B, que es una categoría abeliana dotada de un functor exacto de A a A/B que es esencialmente sobreyectivo y tiene núcleo B. Esta categoría cociente se puede construir como una localización de A mediante la clase de morfismos cuyo núcleo y conúcleo pertenecen a B.

Variedades abelianas hasta la isogenia

Una isogenia de una variedad abeliana A a otra B es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito . Algunos teoremas sobre variedades abelianas requieren la idea de variedad abeliana salvo isogenia para su enunciado conveniente. Por ejemplo, dada una subvariedad abeliana A 1 de A , existe otra subvariedad A 2 de A tal que

A 1 × A 2

es isógena a A (teorema de reducibilidad de Poincaré: véase, por ejemplo, Variedades abelianas de David Mumford ). Para llamar a esto una descomposición de suma directa , debemos trabajar en la categoría de variedades abelianas salvo isogenia.

La localización de un espacio topológico , introducida por Dennis Sullivan , produce otro espacio topológico cuya homología es una localización de la homología del espacio original.

Un concepto mucho más general del álgebra homotópica , que incluye como casos especiales tanto la localización de espacios como de categorías, es la localización de Bousfield de una categoría modelo . La localización de Bousfield obliga a que ciertas aplicaciones se conviertan en equivalencias débiles , lo cual es, en general, más débil que obligarlas a convertirse en isomorfismos. [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gabriel, Pedro ; Zisman, Michel (1967). Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía (PDF) . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Nueva York: Springer-Verlag. pag.  12.
  2. ↑ Idempotentes en categorías monoidales
  3. ↑ Philip S. Hirschhorn: Categorías de modelos y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4., Definición 3.3.1