Cancelar

La cancelación es un proceso matemático que se utiliza para eliminar subexpresiones de una expresión matemática , cuando esta eliminación no cambia el significado ni el valor de la expresión porque las subexpresiones tienen efectos iguales y opuestos. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, una fracción se simplifica a su mínima expresión cancelando los factores comunes del numerador y el denominador . ^{[ 2 ]} Como otro ejemplo, si a × b = a × c , entonces el término multiplicativo a se puede cancelar si a ≠0, lo que resulta en la expresión equivalente b = c ; esto es equivalente a dividir por a .

Si las subexpresiones no son idénticas, aún es posible cancelarlas parcialmente. Por ejemplo, en la ecuación simple 3 + 2y = 8y , ambos lados contienen 2y ( porque 8y es lo mismo que 2y + 6y ) . Por lo tanto, el 2y de ambos lados se puede cancelar, quedando 3 = 6y , o y = 0,5. Esto equivale a restar 2y de ambos lados.

En ocasiones, la simplificación puede introducir cambios limitados o soluciones adicionales en una ecuación . Por ejemplo, dada la desigualdad ab ≥ 3b , parece que la b en ambos lados se puede simplificar para obtener a ≥ 3 como solución. Pero simplificar de forma "ingenua" como esta significa que no obtendremos todas las soluciones (conjuntos de ( a, b ) que satisfacen la desigualdad). Esto se debe a que si b fuera un número negativo , dividir por un número negativo cambiaría la relación ≥ a una relación ≤. Por ejemplo, aunque 2 es mayor que 1, -2 es menor que -1. Además, si b fuera cero , cero multiplicado por cualquier cosa es cero, y simplificar implicaría dividir por cero en ese caso, lo cual no es posible. Así pues, si bien la simplificación funciona, simplificar correctamente nos llevará a tres conjuntos de soluciones, no solo al que creíamos tener. También nos indicará que nuestra solución "ingenua" solo es válida en algunos casos, no en todos.

• Si b > 0: podemos cancelar para obtener a ≥ 3.
• Si b < 0: entonces al cancelar obtenemos a ≤ 3 en su lugar, porque tendríamos que invertir la relación en este caso.
• Si b es exactamente cero: entonces la ecuación es verdadera para cualquier valor de a , porque ambos lados serían cero, y 0 ≥ 0.

Por lo tanto, puede ser necesario tener cuidado para asegurar que la cancelación se realice correctamente y que no se pasen por alto o sean incorrectas las soluciones. Nuestra sencilla desigualdad tiene tres conjuntos de soluciones, que son:

• b > 0 y a ≥ 3. (Por ejemplo, b = 5 y a = 6 es una solución porque 6 x 5 es 30 y 3 x 5 es 15, y 30 ≥ 15) o
• b < 0 y a ≤ 3 (Por ejemplo, b = –5 y a = 2 es una solución porque 2 x (–5) es –10 y 3 x (–5) es –15, y –10 ≥ –15) o
• b = 0 (y a puede ser cualquier número) (porque cualquier cosa x cero ≥ 3 x cero)

Nuestra solución "ingenua" (que a ≥ 3) también sería errónea en ocasiones. Por ejemplo, si b = –5, entonces a = 4 no es una solución aunque 4 ≥ 3, porque 4 × (–5) es –20, y 3 × (–5) es –15, y –20 no es ≥ –15.

En matemáticas más avanzadas, la cancelación se utiliza en el contexto de series infinitas , cuyos términos pueden cancelarse para obtener una suma finita o una serie convergente . En este caso, se suele emplear el término telescópico . Debido a la naturaleza de dichas series, a menudo es necesario extremar las precauciones y evitar errores para garantizar la validez de la ecuación modificada o para establecer los límites dentro de los cuales será válida.

En la ciencia computacional , la cancelación se utiliza a menudo para mejorar la precisión y el tiempo de ejecución de los algoritmos numéricos .

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