Regla de subdivisión finita

En matemáticas, una regla de subdivisión finita es una forma recursiva de dividir un polígono u otra figura bidimensional en piezas cada vez más pequeñas. Las reglas de subdivisión son, en cierto sentido, generalizaciones de los fractales geométricos regulares . En lugar de repetir exactamente el mismo diseño una y otra vez, presentan ligeras variaciones en cada etapa, lo que permite una estructura más rica sin perder la elegancia de los fractales. ^{[ 1 ]} Las reglas de subdivisión se han utilizado en arquitectura, biología e informática, así como en el estudio de variedades hiperbólicas . Los teselados de sustitución son un tipo de regla de subdivisión ampliamente estudiado.

Una regla de subdivisión toma un teselado del plano mediante polígonos y lo transforma en un nuevo teselado subdividiendo cada polígono en polígonos más pequeños. Es finita si solo existen un número finito de maneras en que cada polígono puede subdividirse. Cada forma de subdividir un teselado se denomina tipo de teselado . Cada tipo de teselado se representa mediante una etiqueta (generalmente una letra). Cada tipo de teselado se subdivide en tipos de teselado más pequeños. Cada arista también se subdivide según un número finito de tipos de aristas . Las reglas de subdivisión finitas solo pueden subdividir teselados formados por polígonos etiquetados con tipos de teselado. Dichos teselados se denominan complejos de subdivisión para la regla de subdivisión. Dado cualquier complejo de subdivisión para una regla de subdivisión, podemos subdividirlo repetidamente para obtener una secuencia de teselados. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, la subdivisión binaria tiene un tipo de tesela y un tipo de arista. Todos los cuadriláteros son teselas de tipo A. ^{[ 3 ]}

Dado que el único tipo de tesela es un cuadrilátero, la subdivisión binaria solo puede subdividir teselaciones formadas por cuadriláteros. Esto significa que los únicos complejos de subdivisión son teselaciones formadas por cuadriláteros. La teselación puede ser regular , pero no necesariamente. El siguiente ejemplo comienza con un complejo formado por cuatro cuadriláteros y lo subdivide dos veces. ^{[ 4 ]}

La subdivisión baricéntrica es un ejemplo de regla de subdivisión con un tipo de arista (que se subdivide en dos aristas) y un tipo de tesela (un triángulo que se subdivide en 6 triángulos más pequeños). Cualquier superficie triangulada es un complejo de subdivisión baricéntrica. ^{[ 1 ]}

El teselado de Penrose se puede generar mediante una regla de subdivisión en un conjunto de cuatro tipos de teselas (las líneas curvas en la tabla siguiente solo ayudan a mostrar cómo encajan las teselas): ^{[ 5 ]}

Ciertos mapas racionales dan lugar a reglas de subdivisión finitas. ^{[ 6 ]} Esto incluye la mayoría de los mapas de Lattès . ^{[ 7 ]}

Cada complemento de nudo o enlace alternante primo y no dividido tiene una regla de subdivisión, con algunas teselas que no se subdividen, correspondientes al límite del complemento de enlace. ^{[ 8 ]} Las reglas de subdivisión muestran cómo se vería el cielo nocturno para alguien que vive en un complemento de nudo ; debido a que el universo se enrolla sobre sí mismo (es decir, no está simplemente conectado ), un observador vería el universo visible repetirse en un patrón infinito. ^{[ 9 ]} La regla de subdivisión describe ese patrón. ^{[ 8 ]}

La regla de subdivisión se ve diferente para diferentes geometrías. Esta es una regla de subdivisión para el nudo de trébol , que no es un nudo hiperbólico : ^{[ 8 ]}

Y esta es la regla de subdivisión para los anillos borromeos , que es hiperbólica: ^{[ 8 ]}

En cada caso, la regla de subdivisión actuaría sobre algún teselado de una esfera (es decir, el cielo nocturno), pero es más fácil simplemente dibujar una pequeña parte del cielo nocturno, correspondiente a un solo teselado que se subdivide repetidamente. Esto es lo que sucede con el nudo de trébol: ^{[ 8 ]}

Y para los anillos borromeos: ^{[ 8 ]}

Subdivision rules can easily be generalized to other dimensions.^[10] For instance, barycentric subdivision is used in all dimensions.^[11] Also, binary subdivision can be generalized to other dimensions (where hypercubes get divided by every midplane), as used in certain proofs in higher-dimensional mathematical analysis such as for the Bolzano–Weierstrass theorem and Heine–Borel theorem.^[12]

A finite subdivision rule ${\displaystyle R}$ consists of the following.^[2]

1. A finite 2-dimensional CW complex${\displaystyle S_{R}}$, called the subdivision complex, with a fixed cell structure such that ${\displaystyle S_{R}}$ is the union of its closed 2-cells. We assume that for each closed 2-cell ${\displaystyle {\tilde {s}}}$ of ${\displaystyle S_{R}}$ there is a CW structure ${\displaystyle s}$ on a closed 2-disk such that ${\displaystyle s}$ has at least two vertices, the vertices and edges of ${\displaystyle s}$ are contained in ${\displaystyle \partial s}$, and the characteristic map ${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$ which maps onto ${\displaystyle {\tilde {s}}}$ restricts to a homeomorphism onto each open cell.^[2]
2. A finite two dimensional CW complex ${\displaystyle R(S_{R})}$, which is a subdivision of ${\displaystyle S_{R}}$.^[2]
3. A continuous cellular map ${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$ called the subdivision map, whose restriction to every open cell is a homeomorphism onto an open cell.^[2]

Each CW complex ${\displaystyle s}$ in the definition above (with its given characteristic map ${\displaystyle \psi _{s}}$) is called a tile type.^[2]

An ${\displaystyle R}$-complex for a subdivision rule ${\displaystyle R}$ is a 2-dimensional CW complex ${\displaystyle X}$ which is the union of its closed 2-cells, together with a continuous cellular map ${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$ whose restriction to each open cell is a homeomorphism. We can subdivide ${\displaystyle X}$ into a complex ${\displaystyle R(X)}$ by requiring that the induced map ${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$ restricts to a homeomorphism onto each open cell. ${\displaystyle R(X)}$ is again an ${\displaystyle R}$-complex with map ${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$. Repeating this process produces a sequence of subdivided ${\displaystyle R}$-complexes ${\displaystyle R^{n}(X)}$ with maps ${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$.^[2]

Subdivision rules can be used to study the quasi-isometry properties of certain spaces.^[13] Given a subdivision rule ${\displaystyle R}$ and subdivision complex ${\displaystyle X}$, one can construct a graph called the "history graph" that records the action of the subdivision rule. The graph consists of the dual graphs of every stage ${\displaystyle R^{n}(X)}$, together with edges connecting each tile in ${\displaystyle R^{n}(X)}$ with its subdivisions in ${\displaystyle R^{n+1}(X)}$.^[14]

The quasi-isometry properties of the history graph can be studied using subdivision rules. For instance, the history graph is quasi-isometric to hyperbolic space exactly when the subdivision rule is "conformal", as described in the combinatorial Riemann mapping theorem.^[13]

Applications of subdivision rules.

An example of a subdivision rule used in the Islamic art known as girih.

First three steps of Catmull-Clark subdivision of a cube with subdivision surface below.

The branching nature of bronchi may be modelled by finite subdivision rules.

Islamic Girih tiles in Islamic architecture are self-similar tilings that can be modeled with finite subdivision rules.^[15] In 2007, Peter J. Lu of Harvard University and Professor Paul J. Steinhardt of Princeton University published a paper in the journal Science suggesting that girih tilings possessed properties consistent with self-similarfractalquasicrystalline tilings such as Penrose tilings (presentation 1974, predecessor works starting in about 1964) predating them by five centuries.^[15]

Subdivision surfaces in computer graphics use subdivision rules to refine a surface to any given level of precision. These subdivision surfaces (such as the Catmull-Clark subdivision surface) take a polygon mesh (the kind used in 3D animated movies) and refine it to a mesh with more polygons by adding and shifting points according to different recursive formulas. Although many points get shifted in this process, each new mesh is combinatorially a subdivision of the old mesh (meaning that for every edge and vertex of the old mesh, one can identify a corresponding edge and vertex in the new one, plus several more edges and vertices).^[16]

Cannon, Floyd y Parry (2000) aplicaron reglas de subdivisión al estudio de los patrones de crecimiento a gran escala de los organismos biológicos. ^{[ 17 ]} Desarrollaron un modelo matemático de crecimiento que demostró que algunos sistemas determinados por reglas de subdivisión finitas simples pueden dar lugar a objetos (en su ejemplo, el tronco de un árbol) cuya forma a gran escala oscila drásticamente con el tiempo, aunque las leyes de subdivisión locales permanezcan invariables. También aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de rata. Sugirieron que la naturaleza de "curvatura negativa" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no se asemejan a cristales o formas poliédricas, sino que, de hecho, en muchos casos, se parecen a fractales autosimilares . En particular, sugirieron que dicha estructura local de "curvatura negativa" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y conectada del cerebro y el tejido pulmonar. ^{[ 17 ]}

Cannon , Floyd y Parry estudiaron por primera vez las reglas de subdivisión finitas en un intento de demostrar la siguiente conjetura: ^{[ 13 ]}

Todo grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito actúa geométricamente sobre el espacio hiperbólico 3-dimensional .

Aquí, una acción geométrica es una acción cocompacta, propiamente discontinua por isometrías. Esta conjetura fue parcialmente resuelta por Grigori Perelman en su demostración de la conjetura de geometrización , que afirma (en parte) que cualquier grupo hiperbólico de Gromov que sea un grupo de 3-variedades debe actuar geométricamente sobre el espacio hiperbólico de 3 dimensiones. Sin embargo, aún queda por demostrar que un grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito es un grupo de 3-variedades. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

Cannon y Swenson demostraron ^{[ 21 ]} que un grupo hiperbólico con una 2-esfera en el infinito tiene una regla de subdivisión asociada. Si esta regla de subdivisión es conforme en cierto sentido, el grupo será un grupo de 3-variedades con la geometría del espacio hiperbólico tridimensional. ^{[ 13 ]}

Las reglas de subdivisión proporcionan una secuencia de teselaciones de una superficie, y estas teselaciones ofrecen una comprensión intuitiva de la distancia, la longitud y el área (asignando a cada tesela una longitud y un área de 1). En el límite, las distancias que resultan de estas teselaciones pueden converger, en cierto sentido, a una estructura analítica en la superficie. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann proporciona condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra. ^{[ 13 ]}

Su declaración necesita algunos antecedentes. Un mosaico${\displaystyle T}$de un anillo${\displaystyle R}$(es decir, un anillo cerrado) da dos invariantes,${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$y${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$, llamados módulos aproximados . Estos son similares al módulo clásico de un anillo . Se definen mediante el uso de "funciones de peso". Una función de peso${\displaystyle \rho }$asigna un número no negativo llamado "peso" a cada baldosa de${\displaystyle T}$. Cada camino en${\displaystyle R}$Se le puede dar una longitud, definida como la suma de los pesos de todas las baldosas en el camino. Defina la altura.${\displaystyle H(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$ser el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que conectan el límite interior de${\displaystyle R}$hasta el límite exterior. La circunferencia${\displaystyle C(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$es el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que rodean el anillo (es decir, no nulohomotópico en R). El área${\displaystyle A(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$se define como la suma de los cuadrados de todos los pesos en${\displaystyle R}$. Invariantes bajo escalamiento de la métrica, se pueden definir como: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\sup }(R,T)&=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},\\m_{\inf }(R,T)&=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Una secuencia${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$de teselaciones es conforme (${\displaystyle K}$) si la malla se aproxima a 0 y: ^{[ 13 ]}

1. Para cada anillo${\displaystyle R}$, los módulos aproximados${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$y${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$, para todos${\displaystyle i}$suficientemente grandes, se encuentran en un único intervalo de la forma${\displaystyle [r,Kr]}$; y
2. Dado un punto${\displaystyle x}$en la superficie, un vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle x}$y un número entero${\displaystyle I}$, hay un anillo${\displaystyle R}$en${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$separando x del complemento de${\displaystyle N}$, de tal manera que para todos los grandes${\displaystyle i}$los módulos aproximados de${\displaystyle R}$son todos mayores que${\displaystyle I}$.

• Página de investigación de Bill Floyd . Esta página contiene la mayoría de los trabajos de investigación de Cannon, Floyd y Parry sobre reglas de subdivisión, así como una galería de reglas de subdivisión.