Análisis canónico

En estadística , el análisis canónico (del griego antiguo : κανων barra, vara de medir , regla) pertenece a la familia de métodos de regresión para el análisis de datos. ^El análisis de regresión cuantifica una relación entre una variable predictora y una variable criterio mediante el coeficiente de correlación r , el coeficiente de determinación r² y el coeficiente de regresión estándar β . El análisis de regresión múltiple expresa una relación entre un conjunto de variables predictoras y una única variable criterio mediante la correlación múltiple R , el coeficiente de determinación múltiple R² ^y un conjunto de pesos de regresión parcial estándar β₁ , β₂ , etc. _{El análisis de} variables canónicas captura una relación entre un conjunto de variables predictoras y un conjunto de variables criterio mediante las correlaciones canónicas ρ₁ , ρ₂ _{, ...} , y mediante los conjuntos de pesos canónicos C y D. 

El análisis canónico pertenece a un grupo de métodos que implican la resolución de la ecuación característica para sus raíces y vectores latentes. Describe estructuras formales en el hiperespacio invariantes con respecto a la rotación de sus coordenadas. En este tipo de solución, la rotación conserva muchas propiedades de optimización, siempre que se realice de ciertas maneras y en un subespacio de su hiperespacio correspondiente. Esta rotación desde la estructura de correlación intervariante máxima a una estructura diferente, más simple y significativa aumenta la interpretabilidad de los pesos canónicos C y D. En esto, el análisis canónico difiere del análisis de variables canónicas de Harold Hotelling (1936) (también llamado análisis de correlación canónica ), diseñado para obtener correlaciones máximas (canónicas) entre las variables canónicas predictoras y de criterio. La diferencia entre el análisis de variables canónicas y el análisis canónico es análoga a la diferencia entre el análisis de componentes principales y el análisis factorial , cada uno con su conjunto característico de comunes, autovalores y autovectores .

El análisis canónico es una técnica multivariante que se ocupa de determinar las relaciones entre grupos de variables en un conjunto de datos. El conjunto de datos se divide en dos grupos, X e Y , basándose en algunas características comunes. El objetivo del análisis canónico es encontrar la relación entre X e Y , es decir, si alguna forma de X puede representar a Y. Funciona encontrando la combinación lineal de variables X _(X₁ , X₂ , _{etc. )} y la combinación lineal de variables Y _(Y₁ , Y₂ , _{etc. )} que estén más correlacionadas. Esta combinación se conoce como las "primeras variables canónicas", que generalmente se denotan como _{U₁ y} V₁ , y el par U₁ y V₁ se denomina "función canónica". Las siguientes funciones canónicas, U₂ y V₂ _, se restringen de manera que no estén correlacionadas con _U₁ y V₁ . Todo se escala de manera que la varianza sea igual _{a 1} . 

También se pueden construir relaciones que se ajusten a las restricciones teóricas o al sentido común/intuición. Estos se denominan modelos de máxima correlación. (Tofallis, 1999)

Matemáticamente, el análisis canónico maximiza U ′ X ′ YV sujeto a U ′ X ′ XU  = I y V ′ Y ′ YV = I , donde X e Y son las matrices de datos (fila para instancia y columna para característica).   

• coeficiente RV

• Hotelling, H. (1936). "Relaciones entre dos conjuntos de variables". Biometrika . 28 ( 3– 4): 321– 377. doi : 10.1093/biomet/28.3-4.321 . JSTOR 2333955 . 
• Krus, DJ; et  al. (1976). "Rotación en el análisis canónico". Medición educativa y psicológica . 36 (3): 725– 730. doi : 10.1177/001316447603600320 .
• Liang, KH; Krus, DJ; Webb, JM (1995). "Validación cruzada K-fold en análisis canónico". Multivariate Behavioral Research . 30 (4): 539– 545. doi : 10.1207/s15327906mbr3004_4 . PMID 26790047 . 
• Tofallis, C. (1999). "Model Building with Multiple Dependent Variables and Constraints". JR Stat. Soc. D . 48 (3): 1– 8. arXiv : 1109.0725 . doi : 10.1111/1467-9884.00195 . SSRN 1353202 .