Álgebras CCR y CAR

En matemáticas y física, las álgebras CCR (denominadas relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras CAR (denominadas relaciones de anticonmutación canónicas) surgen del estudio mecánico cuántico de los bosones y los fermiones , respectivamente. Desempeñan un papel destacado en la mecánica estadística cuántica ^[1] y en la teoría cuántica de campos .

Sea un espacio vectorial real dotado de una forma bilineal antisimétrica real no singular (es decir, un espacio vectorial simpléctico ). La *-álgebra unital generada por elementos de sujeto a las relaciones ${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización (\cdot,\cdot)}$ ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

Para cualquier in se denomina álgebra de relaciones de conmutación canónica (CCR) . La unicidad de las representaciones de esta álgebra cuando es de dimensión finita se analiza en el teorema de Stone-von Neumann . ${\estilo de visualización f,~g}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$

Si está equipado con una forma bilineal simétrica real no singular en cambio, el *-álgebra unital generada por los elementos del sujeto a las relaciones ${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización (\cdot,\cdot)}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier en se llama álgebra de relaciones de anticonmutación canónica (CAR) . ${\estilo de visualización f,~g}$${\estilo de visualización V}$

Existe un significado distinto, pero estrechamente relacionado, del álgebra CCR, llamado C*-álgebra CCR. Sea un espacio vectorial simpléctico real con forma simpléctica no singular . En la teoría de álgebras de operadores , el álgebra CCR sobre es el C*-álgebra unital generado por elementos sujetos a ${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización (\cdot,\cdot)}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \{W(f):~f\en H\}}$

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Estas se denominan la forma de Weyl de las relaciones de conmutación canónicas y, en particular, implican que cada una es unitaria y . Es bien sabido que el álgebra CCR es un álgebra simple (a menos que la forma simplética sea degenerada) no separable y es única hasta el isomorfismo. ^[2]${\estilo de visualización W(f)}$${\displaystyle W(0)=1}$

Cuando es un espacio de Hilbert complejo y está dado por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra CCR se representa fielmente en el espacio de Fock simétrico sobre estableciendo ${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización (\cdot,\cdot)}$${\estilo de visualización H}$

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

para cualquier . Los operadores de campo se definen para cada uno como el generador del grupo unitario de un parámetro en el espacio de Fock simétrico. Estos son operadores no acotados autoadjuntos , sin embargo satisfacen formalmente ${\displaystyle f,g\in H}$${\displaystyle B(f)}$${\displaystyle f\in H}$${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Como la asignación es real-lineal, los operadores definen un álgebra CCR en el sentido de la Sección 1. ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$${\displaystyle B(f)}$${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Sea un espacio de Hilbert. En la teoría de álgebras de operadores, el álgebra CAR es la única C*-compleción del *-álgebra unital compleja generada por elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle H}$${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

Para cualquier , . Cuando es separable, el álgebra CAR es un álgebra AF y, en el caso especial de dimensión infinita, a menudo se escribe como . ^[3]${\displaystyle f,g\in H}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$

Sea el espacio de Fock antisimétrico sobre y sea la proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos: ${\displaystyle F_{a}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

El álgebra CAR se representa fielmente mediante el establecimiento ${\displaystyle F_{a}(H)}$

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

para todos y . El hecho de que estos formen un C*-álgebra se debe al hecho de que los operadores de creación y aniquilación en el espacio de Fock antisimétrico son operadores acotados genuinos . Además, los operadores de campo satisfacen ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

dando la relación con la Sección 1.

Sea un espacio vectorial real - graduado equipado con una superforma bilineal antisimétrica no singular (es decir ) tal que es real si o es un elemento par e imaginario si ambos son impares. El *-álgebra unital generada por los elementos de sujeto a las relaciones ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

para cualesquiera dos elementos puros en es la generalización obvia de superálgebra que unifica los CCR con los CAR: si todos los elementos puros son pares, se obtiene un CCR, mientras que si todos los elementos puros son impares, se obtiene un CAR. ${\displaystyle f,~g}$${\displaystyle V}$

En matemáticas, la estructura abstracta de las álgebras CCR y CAR, sobre cualquier cuerpo, no solo los números complejos, se estudia con el nombre de álgebras de Weyl y Clifford , donde se han acumulado muchos resultados significativos. Uno de ellos es que las generalizaciones graduadas de las álgebras de Weyl y Clifford permiten la formulación sin base de las relaciones de conmutación y anticonmutación canónicas en términos de una forma bilineal no degenerada simpléctica y simétrica. Además, los elementos binarios en esta álgebra de Weyl graduada dan una versión sin base de las relaciones de conmutación de las álgebras de Lie ortogonales simplécticas e indefinidas . ^[4]

• Estadísticas de Bose-Einstein
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• Transformación de Bogoliubov
• (−1) ^F