Proyección (matemáticas)

En matemáticas , una proyección es una aplicación de un conjunto a sí mismo —o un endomorfismo de una estructura matemática— que es idempotente , es decir, igual a su composición consigo misma. La imagen de un punto o un subconjunto${\displaystyle S}$⁠ bajo una proyección se llama proyección de ⁠${\displaystyle S}$⁠ .

Un ejemplo cotidiano de proyección es la proyección de sombras sobre un plano (hoja de papel): la proyección de un punto es su sombra sobre la hoja de papel, y la proyección (sombra) de un punto sobre la hoja de papel es ese mismo punto (idempotencia). La sombra de una esfera tridimensional es un disco. Originalmente, la noción de proyección se introdujo en la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano tridimensional sobre un plano dentro de él, como en el ejemplo de la sombra. Las dos principales proyecciones de este tipo son:

• Proyección de un punto sobre un plano o proyección central : Si C es un punto, llamado centro de proyección , la proyección de un punto P distinto de C sobre un plano que no contiene a C es la intersección de la recta CP con el plano. Los puntos P tales que la recta CP es paralela al plano no tienen imagen mediante la proyección, pero se suele decir que se proyectan a un punto en el infinito del plano (véase Geometría proyectiva para una formalización de esta terminología). La proyección del punto C en sí no está definida.
• Proyección paralela a una dirección D sobre un plano o proyección paralela : La imagen de un punto P es la intersección del plano con la recta paralela a D que pasa por P. Véase Espacio afín §  Proyección para una definición precisa, generalizada a cualquier dimensión.

El concepto de proyección en matemáticas es muy antiguo y probablemente tenga sus raíces en el fenómeno de las sombras que proyectan los objetos del mundo real sobre el suelo. Esta idea rudimentaria se fue refinando y abstraiendo, primero en un contexto geométrico y luego en otras ramas de las matemáticas. Con el tiempo, se desarrollaron diferentes versiones del concepto, pero hoy, en un marco suficientemente abstracto, podemos unificar estas variaciones.

En cartografía , una proyección cartográfica es un mapa de una parte de la superficie terrestre sobre un plano, lo cual, en algunos casos, pero no siempre, constituye una restricción del significado de proyección antes mencionado. Las proyecciones 3D también son la base de la teoría de la perspectiva .

La necesidad de unificar los dos tipos de proyecciones y de definir la imagen mediante una proyección central de cualquier punto distinto del centro de proyección está en el origen de la geometría proyectiva .

En general, una aplicación donde el dominio y el codominio son el mismo conjunto (o estructura matemática ) es una proyección si la aplicación es idempotente , lo que significa que una proyección es igual a su composición consigo misma. Una proyección también puede referirse a una aplicación que tiene un inverso derecho . Ambas nociones están fuertemente relacionadas, como se muestra a continuación. Sea p una aplicación idempotente de un conjunto A en sí mismo (por lo tanto, p ∘ p = p ) y B = p ( A ) la imagen de p . Si denotamos por π la aplicación p vista como una aplicación de A sobre B y por i la inyección de B en A (de modo que p = i ∘ π ), entonces tenemos π ∘ i = Id _B (de modo que π tiene un inverso derecho). Por el contrario, si π tiene un inverso derecho i , entonces π ∘ i = Id _B implica que i ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id _B ∘ π = i ∘ π ; es decir, p = i ∘ π es idempotente.

La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a diversas situaciones matemáticas, frecuentemente, aunque no siempre, relacionadas con la geometría, por ejemplo:

• En teoría de conjuntos :
  • Una operación tipificada por la proyección j - ^ésima , escrita proj _j , que toma un elemento x = ( x ₁ , ..., x _j , ..., x _n ) del producto cartesiano X ₁ × ⋯ × X _j × ⋯ × X _n al valor proj _j ( x ) = x _j . ^{[ 1 ]} Esta aplicación es siempre sobreyectiva y, cuando cada espacio X _k tiene una topología , esta aplicación también es continua y abierta . ^{[ 2 ]}
  • Una función que asigna un elemento a su clase de equivalencia bajo una relación de equivalencia dada se conoce como proyección canónica . ^{[ 3 ]}
  • El mapa de evaluación envía una función f al valor f ( x ) para un x fijo . El espacio de funciones Y ^X se puede identificar con el producto cartesiano.${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$y el mapa de evaluación es un mapa de proyección del producto cartesiano.
• Para bases de datos relacionales y lenguajes de consulta , la proyección es una operación unaria escrita como${\displaystyle \Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)}$dónde${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$es un conjunto de nombres de atributos. El resultado de dicha proyección se define como el conjunto que se obtiene cuando todas las tuplas en R se restringen al conjunto${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} R es una relación de base de datos .
• En geometría esférica , Ptolomeo (~150) utilizó la proyección de una esfera sobre un plano en su Planisphaerium . ^{[ 7 ]} El método se llama proyección estereográfica y utiliza un plano tangente a una esfera y un polo C diametralmente opuesto al punto de tangencia. Cualquier punto P en la esfera distinto de C determina una línea CP que interseca el plano en el punto proyectado para P. ^{[ 8} ] La correspondencia hace que la esfera sea una compactificación de un punto para el plano cuando se incluye un punto en el infinito ^para que corresponda a C , que de otro modo no tiene proyección en el plano. Un ejemplo común es el plano complejo donde la compactificación corresponde a la esfera de Riemann . Alternativamente, un hemisferio se proyecta frecuentemente sobre un plano utilizando la proyección gnomónica .
• En álgebra lineal , una transformación lineal que permanece inalterada si se aplica dos veces: p ( u ) = p ( p ( u )) . En otras palabras, un operador idempotente . Por ejemplo, la aplicación que transforma un punto ( x , y , z ) en tres dimensiones en el punto ( x , y , 0) es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza naturalmente a cualquier número de dimensiones n para el dominio y k ≤ n para el codominio de la aplicación. Véase Proyección ortogonal , Proyección (álgebra lineal) . En el caso de proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto, y el operador de proyección es también una proyección en ese sentido. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• En el análisis funcional y la mecánica cuántica , se utiliza un tipo específico de proyección en la construcción de medidas con valores de proyección . En este sentido, una proyección es un operador lineal idempotente autoadjunto .
• En topología diferencial , cualquier fibrado incluye una proyección como parte de su definición. Localmente, al menos, esta proyección se asemeja a una proyección en el sentido de la topología producto y, por lo tanto, es abierta y sobreyectiva.
• En topología , una retracción es una aplicación continua r : X → X que se restringe a la aplicación identidad en su imagen. ^{[ 11 ]} Esta satisface una condición de idempotencia similar r ² = r y puede considerarse una generalización de la aplicación de proyección. La imagen de una retracción se denomina retracción del espacio original. Una retracción homotópica a la identidad se conoce como retracción de deformación . Este término también se utiliza en teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo escindido.
• La proyección escalar (o resuelta) de un vector sobre otro.
• En teoría de categorías , la noción anterior de producto cartesiano de conjuntos puede generalizarse a categorías arbitrarias . El producto de algunos objetos tiene un morfismo de proyección canónico a cada factor. Casos especiales incluyen la proyección del producto cartesiano de conjuntos , la topología producto de espacios topológicos (que siempre es sobreyectiva y abierta ), o del producto directo de grupos , etc. Aunque estos morfismos suelen ser epimorfismos e incluso sobreyectivos, no necesariamente lo son. ^{[ 12 ]}

• Craig, Thomas (1882) Un tratado sobre proyecciones de la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .
• Henrici, Olaus Magnus Friedrich (1911). "Proyección"  . Enciclopedia Británica . vol.  22 (11ª  ed.). págs. 427–434 .