haz tangente

Un fibrado tangente es el conjunto de todos los espacios tangentes para todos los puntos de una variedad , estructurado de tal manera que forma una nueva variedad. Formalmente, en geometría diferencial , el fibrado tangente de una variedad diferenciable es${\displaystyle M}$es un colector${\displaystyle TM}$que reúne todos los vectores tangentes en${\displaystyle M}$. Como conjunto, está dado por la unión disjunta ^{[ nota 1 ]} de los espacios tangentes de${\displaystyle M}$. Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle T_{x}M}$denota el espacio tangente a${\displaystyle M}$en ese punto${\displaystyle x}$. Entonces, un elemento de${\displaystyle TM}$se puede pensar en ellos como un par${\displaystyle (x,v)}$, dónde${\displaystyle x}$es un punto en${\displaystyle M}$y${\displaystyle v}$es un vector tangente a${\displaystyle M}$en${\displaystyle x}$.

Existe una proyección natural

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

definido por${\displaystyle \pi (x,v)=x}$Esta proyección mapea cada elemento del espacio tangente${\displaystyle T_{x}M}$al único punto${\displaystyle x}$.

El fibrado tangente viene equipado con una topología natural (descrita en una sección posterior ). Con esta topología, el fibrado tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un fibrado vectorial (que es un fibrado cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección de${\displaystyle TM}$es un campo vectorial en${\displaystyle M}$y el paquete doble para${\displaystyle TM}$es el fibrado cotangente , que es la unión disjunta de los espacios cotangentes de${\displaystyle M}$. Por definición, una variedad${\displaystyle M}$es paralelizable si y solo si el fibrado tangente es trivial . Por definición, una variedad${\displaystyle M}$está enmarcado si y solo si el fibrado tangente${\displaystyle TM}$es establemente trivial, lo que significa que para algún haz trivial${\displaystyle E}$la suma de Whitney${\displaystyle TM\oplus E}$es trivial. Por ejemplo, la esfera n -dimensional S ⁿ está enmarcada para todo n , pero es paralelizable solo para n = 1, 3, 7 (según los resultados de Bott-Milnor y Kervaire).

Una de las funciones principales del fibrado tangente es proporcionar un dominio y un rango para la derivada de una función suave. Es decir, si${\displaystyle f:M\rightarrow N}$es una función suave, con${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$variedades suaves, su derivada es una función suave${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$.

El fibrado tangente viene equipado con una topología natural ( no la topología de unión disjunta ) y una estructura suave para convertirlo en una variedad por derecho propio. La dimensión de${\displaystyle TM}$es el doble de la dimensión de${\displaystyle M}$.

Cada espacio tangente de una variedad n -dimensional es un espacio vectorial n -dimensional. Si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto y contraíble de ${\displaystyle M}$, entonces hay un difeomorfismo${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$que se restringe a un isomorfismo lineal desde cada espacio tangente${\displaystyle T_{x}U}$a${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$. Sin embargo, como una variedad,${\displaystyle TM}$no siempre es difeomorfo a la variedad producto${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$Cuando es de la forma${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$Entonces se dice que el fibrado tangente es trivial . Los fibrados tangentes triviales suelen aparecer en variedades equipadas con una "estructura de grupo compatible"; por ejemplo, en el caso en que la variedad es un grupo de Lie . El fibrado tangente del círculo unitario es trivial porque es un grupo de Lie (bajo la multiplicación y su estructura diferencial natural). Sin embargo, no es cierto que todos los espacios con fibrados tangentes triviales sean grupos de Lie; las variedades que tienen un fibrado tangente trivial se denominan paralelizable . Así como las variedades se modelan localmente en el espacio euclidiano , los fibrados tangentes se modelan localmente en${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$, dónde${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto del espacio euclidiano.

Si M es una variedad diferenciable n- dimensional, entonces viene equipada con un atlas de cartas.${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$, dónde${\displaystyle U_{\alpha }}$es un conjunto abierto en${\displaystyle M}$y

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

es un difeomorfismo . Estas coordenadas locales en${\displaystyle U_{\alpha }}$dar lugar a un isomorfismo${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$a pesar de${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$Entonces podemos definir un mapa.

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

por

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Utilizamos estos mapas para definir la topología y la estructura suave en${\displaystyle TM}$. Un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle TM}$está abierto si y solo si

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

está abierto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$para cada${\displaystyle \alpha .}$Estos mapas son homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de${\displaystyle TM}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$y por lo tanto sirven como gráficos para la estructura fluida en${\displaystyle TM}$Las funciones de transición en el gráfico se superponen.${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$son inducidos por las matrices jacobianas de la transformación de coordenadas asociada y, por lo tanto, son mapas suaves entre subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

El fibrado tangente es un ejemplo de una construcción más general llamada fibrado vectorial (que a su vez es un tipo específico de fibrado ). Explícitamente, el fibrado tangente a un${\displaystyle n}$variedad dimensional${\displaystyle M}$puede definirse como un rango${\displaystyle n}$fibrado vectorial sobre${\displaystyle M}$cuyas funciones de transición vienen dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas asociadas.

El ejemplo más sencillo es el de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. En este caso el fibrado tangente es trivial: cada${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$es canónicamente isomorfo a${\displaystyle T_{\mathbf {0} }\mathbb {R} ^{n}}$a través del mapa${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$que resta${\displaystyle x}$, dando un difeomorfismo${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$.

Otro ejemplo sencillo es el círculo unitario ,${\displaystyle S^{1}}$(ver imagen arriba). El fibrado tangente del círculo también es trivial e isomorfo a${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$Geométricamente, se trata de un cilindro de altura infinita.

Los únicos haces tangentes que se pueden visualizar fácilmente son los de la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$y el círculo unitario${\displaystyle S^{1}}$, ambos son triviales. Para variedades bidimensionales, el fibrado tangente es de 4 dimensiones y, por lo tanto, difícil de visualizar.

Un ejemplo sencillo de un fibrado tangente no trivial es el de la esfera unitaria.${\displaystyle S^{2}}$: este fibrado tangente no es trivial como consecuencia del teorema de la bola peluda . Por lo tanto, la esfera no es paralelizable .

Una asignación suave de un vector tangente a cada punto de una variedad se llama campo vectorial . Específicamente, un campo vectorial en una variedad.${\displaystyle M}$es un mapa suave

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

de tal manera que${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$con${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$por cada${\displaystyle x\in M}$En el lenguaje de los haces de fibras, tal mapa se llama sección . Un campo vectorial en${\displaystyle M}$es, por lo tanto, una sección del fibrado tangente de${\displaystyle M}$.

El conjunto de todos los campos vectoriales en${\displaystyle M}$se denota por${\displaystyle \Gamma (TM)}$Los campos vectoriales se pueden sumar punto por punto.

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

y multiplicado por funciones suaves en M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

para obtener otros campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales${\displaystyle \Gamma (TM)}$luego toma la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en M , denotada${\displaystyle C^{\infty }(M)}$.

Un campo vectorial local en${\displaystyle M}$es una sección local del fibrado tangente. Es decir, un campo vectorial local se define solo en algún conjunto abierto.${\displaystyle U\subset M}$y asigna a cada punto de${\displaystyle U}$un vector en el espacio tangente asociado. El conjunto de campos vectoriales locales en${\displaystyle M}$forma una estructura conocida como haz de espacios vectoriales reales en${\displaystyle M}$.

La construcción anterior se aplica igualmente bien al fibrado cotangente: las 1-formas diferenciales en${\displaystyle M}$son precisamente las secciones del haz cotangente${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$,${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$que se asocian a cada punto${\displaystyle x\in M}$un covector de 1${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$, que asignan vectores tangentes a números reales: ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$. Equivalentemente, una 1-forma diferencial${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$mapea un campo vectorial suave${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$para un funcionamiento suave${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$.

Dado que el fibrado tangente${\displaystyle TM}$es en sí misma una variedad diferenciable, el fibrado tangente de segundo orden se puede definir mediante la aplicación repetida de la construcción del fibrado tangente:

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

En general, el${\displaystyle k}$fibrado tangente de orden n${\displaystyle T^{k}M}$puede definirse recursivamente como${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$.

Un mapa suave${\displaystyle f:M\rightarrow N}$tiene una derivada inducida, para la cual el fibrado tangente es el dominio y rango apropiados.${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$De manera similar, los haces tangentes de orden superior proporcionan el dominio y el rango para las derivadas de orden superior.${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$.

Una construcción distinta pero relacionada son los haces de jets en una variedad, que son haces que consisten en jets .

En cada fibrado tangente${\displaystyle TM}$Considerando como una variedad en sí misma, se puede definir un campo vectorial canónico.${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$como el mapa diagonal en el espacio tangente en cada punto. Esto es posible porque el espacio tangente de un espacio vectorial W es naturalmente un producto,${\displaystyle TW\cong W\times W,}$puesto que el espacio vectorial en sí es plano, y por lo tanto tiene una diagonal natural${\displaystyle W\to TW}$dado por${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$bajo esta estructura de producto. Aplicando esta estructura de producto al espacio tangente en cada punto y globalizando se obtiene el campo vectorial canónico. De manera informal, aunque la variedad${\displaystyle M}$es curva, cada espacio tangente en un punto${\displaystyle x}$,${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$, es plano, por lo que la variedad de fibrado tangente${\displaystyle TM}$localmente es un producto de una curva${\displaystyle M}$y un piso${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Por lo tanto, el fibrado tangente del fibrado tangente es localmente (usando${\displaystyle \approx }$para "elección de coordenadas" y${\displaystyle \cong }$para "identificación natural":

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

y el mapa${\displaystyle TTM\to TM}$es la proyección sobre las primeras coordenadas:

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

Al dividir el primer mapa mediante la sección cero y el segundo mapa mediante la diagonal, se obtiene el campo vectorial canónico.

Si${\displaystyle (x,v)}$son coordenadas locales para${\displaystyle TM}$, el campo vectorial tiene la expresión

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

De forma más concisa,${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$– el primer par de coordenadas no cambia porque es la sección de un fibrado y estos son solo el punto en el espacio base: el último par de coordenadas es la sección misma. Esta expresión para el campo vectorial depende solo de${\displaystyle v}$, no en${\displaystyle x}$, ya que solo las direcciones tangentes pueden identificarse de forma natural.

Como alternativa, considere la función de multiplicación escalar:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

La derivada de esta función con respecto a la variable${\displaystyle \mathbb {R} }$en ese momento${\displaystyle t=1}$es una función${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$, que es una descripción alternativa del campo vectorial canónico.

La existencia de tal campo vectorial en${\displaystyle TM}$es análogo a la forma canónica uniforme en el fibrado cotangente . A veces${\displaystyle V}$También se le llama campo vectorial de Liouville o campo vectorial radial .${\displaystyle V}$uno puede caracterizar el fibrado tangente. Esencialmente,${\displaystyle V}$se puede caracterizar usando 4 axiomas, y si una variedad tiene un campo vectorial que satisface estos axiomas, entonces la variedad es un fibrado tangente y el campo vectorial es el campo vectorial canónico en ella. Véase por ejemplo, De León et al.

Hay varias formas de levantar objetos${\displaystyle M}$en objetos en${\displaystyle TM}$. Por ejemplo, si${\displaystyle \gamma }$es una curva en${\displaystyle M}$, entonces${\displaystyle \gamma '}$(la tangente de${\displaystyle \gamma }$) es una curva en${\displaystyle TM}$Por el contrario, sin más supuestos sobre${\displaystyle M}$(por ejemplo, una métrica riemanniana ), no existe una elevación similar al fibrado cotangente .

El levantamiento vertical de una función${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$es la función${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$, dónde${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$es la proyección canónica.

• Empuje hacia adelante (diferencial)
• haz tangente unitario
• haz cotangente
• Paquete de marcos
• isomorfismo musical
• fibrado tangente holomorfo

• Lee, Jeffrey M. (2009), Variedades y geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  107, Providence: Sociedad Matemática AmericanaISBN​ 978-0-8218-4815-9
• Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  218. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Jürgen Jost , Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X
• León, M. De; Merino, E.; Oubiña, JA; Salgado, M. (1994). "Una caracterización de paquetes tangentes y tangentes estables" (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1-15 .
• Gudmundsson, Sigmundur; Kappos, Elías (2002). "Sobre la geometría de haces tangentes". Exposiciones Mathematicae . 20 : 1– 41. doi : 10.1016/S0723-0869(02)80027-5 .
• Salimov, Arif (2023). Aplicaciones de las funciones holomorfas en geometría . Frontiers in Mathematics, Birkhäuser. doi : 10.1007/978-981-99-1296-4 . ISBN 978-1-4419-9981-8.

• "Haz tangente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Paquete Tangente
• PlanetMath: Paquete de tangentes