Producto iterado

En matemáticas, un producto iterado (o simplemente un producto ) es el resultado de aplicar repetidamente la operación binaria de multiplicación a una secuencia de elementos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los factores que se multiplican pueden ser enteros, números reales, números complejos, matrices, polinomios, funciones o, más generalmente, elementos de un monoide equipado con una operación de multiplicación. Para secuencias finitas, el producto iterado siempre produce un resultado bien definido. ^{[ 3 ]}

Cuando la secuencia contiene infinitos factores, la construcción correspondiente se conoce como producto infinito . En este caso, el valor del producto se define utilizando el concepto de límite y no necesariamente existe. ^{[ 4 ]}

La notación de producto también se puede aplicar a menos de dos factores:

• El producto de un solo factor es .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• El producto de ningún factor se define como , la identidad multiplicativa. Esto se conoce como el producto vacío . ^{[ 6 ]}${\displaystyle 1}$

Como consecuencia,

• Si el producto contiene exactamente un factor y es igual a ;${\displaystyle m=n}$${\displaystyle x_{m}}$
• Si , el producto está vacío y es igual a .${\displaystyle m>n}$${\displaystyle 1}$

Las siguientes identidades se cumplen para productos finitos: ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}(rf(k))=r^{n-m+1}\prod _{k=m}^{n}f(k)}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}f(k)g(k)=\left(\prod _{k=m}^{n}f(k)\right)\left(\prod _{k=m}^{n}g(k)\right)}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}{\frac {f(k)}{g(k)}}={\frac {\prod _{k=m}^{n}f(k)}{\prod _{k=m}^{n}g(k)}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}f(k)=\prod _{k=m+r}^{n+r}f(kr)}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{r}f(k)\prod _{k=r+1}^{n}f(k)=\prod _{k=m}^{n}f(k)}$
• ${\displaystyle \ln$ !\left(\prod _{k=m}^{n}f(k)\right)=\sum _{k=m}^{n}\ln f(k)}
• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}k={\frac {n!}{(m-1)!}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}r=r^{,n-m+1}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {r-k+1}{k}}={\binom {r}{n}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}{\frac {k+1}{k}}={\frac {n+1}{m}}}$(un producto telescópico )
• ${\displaystyle \prod _{k=0}^{\lceil n/2\rceil -1}(n-2k)=n!!}$
• ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}r^{k}=r^{\sum _{k=0}^{n}k}=r^{n(n+1)/2}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}r^{f(k)}=r^{\sum _{k=0}^{n}f(k)}}$

• Producto (matemáticas)
• producto infinito
• Producto vacío
• Factorial
• Monoide