Función de Carathéodory

En análisis matemático , una función de Carathéodory (o integrando de Carathéodory) es una función multivariable que permite resolver eficazmente el siguiente problema: una composición de dos funciones medibles según Lebesgue no tiene por qué serlo también. Sin embargo, una composición de una función medible con una función continua sí es medible según Lebesgue, pero en muchas situaciones, la continuidad es una suposición demasiado restrictiva. Las funciones de Carathéodory son más generales que las funciones continuas, pero aun así permiten que una composición con una función medible según Lebesgue sea medible. Las funciones de Carathéodory desempeñan un papel importante en el cálculo de variaciones y reciben su nombre del matemático griego Constantin Carathéodory .

${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \cup \left\{+\infty \right\}}$, para${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$Dotada de la medida de Lebesgue , es una función de Carathéodory si:

1. El mapeo${\displaystyle x\mapsto W\left(x,\xi \right)}$es medible según Lebesgue para cada${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{N}}$.

2. el mapeo${\displaystyle \xi \mapsto W\left(x,\xi \right)}$es continuo para casi todos${\displaystyle x\in \Omega }$.

El principal mérito de la función de Carathéodory es el siguiente: Si${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$es una función de Carathéodory y${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{N}}$es medible según Lebesgue, entonces la composición${\displaystyle x\mapsto W\left(x,u\left(x\right)\right)}$es medible según Lebesgue. ^{[ 1 ]}

Muchos problemas del cálculo de variaciones se formulan de la siguiente manera: encontrar el minimizador de la función${\displaystyle {\mathcal {F}}:W^{1,p}\left(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{m}\right)\rightarrow \mathbb {R} \cup \left\{+\infty \right\}} donde${\displaystyle W^{1,p}\left(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{m}\right)} es el espacio de Sobolev , el espacio que consta de todas las funciones${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$que son débilmente diferenciables y que la función misma y todas sus derivadas de primer orden están en${\displaystyle L^{p}\left(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{m}\right)} ; y donde${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$para algunos${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} }$, una función de Carathéodory. El hecho de que${\displaystyle W}$es una función de Carathéodory nos asegura que${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$está bien definido.

Si${\displaystyle W:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} }$es Carathéodory y satisface${\displaystyle \left|W\left(x,v,A\right)\right|\leq C\left(1+\left|v\right|^{p}+\left|A\right|^{p}\right)}$para algunos${\displaystyle C>0}$(esta condición se llama "p-crecimiento"), entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}:W^{1,p}\left(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{m}\right)\rightarrow \mathbb {R} } donde${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[u\right]=\int _{\Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx}$es finito y continuo en la topología fuerte (es decir, en la norma) de${\displaystyle W^{1,p}\left(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{m}\right)} .